Дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла)

Под оператором набла понимают сумму частных производных по трем координатным осям. В декартовой системе координат он запишется так:

.

Формально его можно рассматривать как вектор. Оператор набла может быть применен к скалярным и векторным функциям. Та функция, действие над которой хотят произвести (дифференцирование ее по координатам или, другими словами, «пространственное» дифференцирование), пишется справа от оператора набла. Если же справа от него не указана эта функция, то сам по себе оператор набла не употребляется. Здесь можно провести аналогию с хорошо известными понятиями каких-либо других функций. Так, например, если написано sin a, то совершенно ясно, что речь идет о синусе угла a, т. е. о совершении определенной операции (нахождении синуса) угла a. Если же было бы написано sin и после значка sin угол отсутствовал, то такая запись была бы лишена смысла.

Применим оператор Ñ к потенциалу j. С этой целью запишем

.

Если сравнить последнее выражение с (11.8), то можно заметить, что правые части у них одинаковы. Следовательно, равны и левые. Поэтому

gradj=Ñj.

Другими словами, запись Ñj эквивалентна записи qrad j, а «приписывание» слева к какой-либо скалярной функции (в нашем случае к j) оператора Ñ означает взятие градиента от этой скалярной функции.