Теорема Гаусса в интегральной форме

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности:

. (11.17)

Так как , то теорема Гаусса может быть записана и в такой форме

, (11.18)

т. е. поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, поделенной на произведение e₀e_r.

Обе формы записи находят себе применение. Существенно подчеркнуть, что поток вектора зависит лишь от суммы зарядов и не зависит от расположения зарядов внутри замкнутой поверхности.

Существует еще одна форма записи теоремы Гаусса, отличающаяся от (11.18). Дело в том, что поток вектора Е через любую замкнутую поверхность создается не только суммой свободных зарядов (åq_свб), но и суммой связанных зарядов (åq_связ), находящихся внутри поверхности.

Из курса физики известно, что поток вектора поляризации сквозь любую замкнутую поверхность равен взятой с обратным знаком алгебраической сумме связанных зарядов, находящихся внутри этой поверхности

.

Поэтому формулу (11.16) можно переписать следующим образом

.

Следовательно

или

. (11.18 ^’ )

Формулы (11.18) и (11.18') отличаются своими правыми частями.

Теорема Гаусса в интегральной форме с большой эффективностью и простотой может быть использована для нахождения напряженности или электрического смещения в какой-либо точке поля, если через эту точку может быть проведена замкнутая поверхность таким образом, что все эти точки этой поверхности будут в одинаковых (симметричных) условиях по отношению к заряду, находящемуся внутри замкнутой поверхности. Такой поверхностью является обычно сфера (если заряд точечный) или боковая поверхность цилиндра (если заряд «линейный»). При этом в силу симметричного расположения всех точек поверхности относительно заряда численное значение напряженности поля в различных точках этой поверхности будет одинаковым.