Применение теоремы Гаусса для определения напряженности и потенциала в поле точечного заряда

В качестве примера использования теоремы Гаусса найдем напряженность поля, создаваемую точечным зарядом в точке, удаленной на расстоянии R от центра заряда. С этой целью проводим через заданную точку сферическую поверхность радиуса R, полагая, что заряд находится в центре сферы, и применяем к этой сфере теорему Гаусса.

Элемент поверхности сферы ds перпендикулярен к поверхности сферы и направлен в сторону внешней (по отношению к объему внутри поверхности) нормали. В данном примере в каждой точке сферы Е и d`s совпадают по направлению. Угол между ними равен нулю. Если учесть, что численное значение Е во всех точках сферы одно и то же, то Е может быть вынесено из-под интеграла:

.

Следовательно, напряженность, создаваемая точечным зарядом q на расстоянии R от него, определится следующим образом

(11.19)

В силу сферической симметрии напряженность поля имеет только одну R -ю составляющую в сферической системе координат. Следовательно,

.

Отсюда

. (11.20)

Таким образом, потенциал в поле точечного заряда обратно пропорционален первой степени расстояния R от точечного заряда до точки, в которой определяется потенциал; С представляет собой постоянную интегрирования, с точностью до которой определяется потенциал. Напомним, что аналогичные выражения для Е и j были получены в 11.4 путем использования закона Кулона.