Обгрунтування методу електролітичної ванни

При конструюванні електронних, іонних і багатьох інших приладів необхідно знати розподіл електричного поля між електродами різної конфігурації. Теоретичний розрахунок таких полів досить складний. Експериментальні виміри полів усередині самих приладів суттєво ускладнені через їх малі розміри. Тому для експериментального отримання розподілу полів застосовується метод електролітичної ванни – метод моделювання електростатичних полів електричними полями в провідних середовищах.

Для цього, виготовляються збільшені подібні та подібно розташовані моделі електродів, що занурюють потім в однорідну слабко провідну рідину (електроліт), наприклад у водопровідну воду. На електроди подають напруги, пропорційні напругам на реальних електродах. Тоді розподіл потенціалу між моделями електродів буде подібний розподілу потенціалу між реальними електродами. Для виміру розподілу потенціалу в різних точках середовища в нього поміщають невеликий провідник – зонд, наприклад, у вигляді короткого металевого стрижня.

Електростатичне поле характеризується в кожній точці простору значеннями вектора напруженості та потенціалу . Ортогональність силових ліній поля і еквіпотенціальних поверхонь істотно полегшує експериментальне та теоретичне дослідження електростатичного поля: визначивши лінії напруженості, можна знайти эквіпотенційні поверхні, і навпаки. Останнє має особливо широке застосування. Справа в тому, що більшість електровимірювальних приладів вимірюють різницю потенціалів, а не напруженість поля. Тому в багатьох випадках, як і у цій роботі, експериментально вивчається розподіл потенціалів у полі, а не напруженостей.

Використання методу електролітичної ванни дозволяє моделювати електричні поля при наявності струмів у середовищі (електроліті). Заміна дослідження поля нерухомих зарядів моделюванням поля струму дає суттєві експериментальні переваги. Серед них – можливість використання змінної напруги. Якщо на електроди подавати постійну напругу, то у електроліті будуть текти постійні струми, що супроводжуються електролізом і виділенням на електродах складових частин електроліту. Ці струми порушували б однорідність електроліту, призводячи до поляризації електродів і до зміни напруги між ними. Окрім того, при цьому використовуються прилади для вимірювання струмів, які набагато зручніше й надійніше електрометрів. Також розподіл струмів і напруг у ванні є нечутливим до сторонніх електростатичних впливів.

Сформулюємо умови, при виконанні яких результати, отримані для постійних полів, можуть бути поширені на змінні поля, тобто з'ясуємо, коли силові лінії электричного поля моделі будуть збігатися з полем усередині провідного середовища при наявності струму.

Електростатичне поле у вакуумі за відсутності об'ємних зарядів () задовольняє рівнянню

. (1)

З іншого боку, відповідно до закону збереження заряду, для густини струму у провідному середовищі виконується рівняння неперервності

. (2)

Якщо ми маємо постійний струм або виконується умова квазістаціонарності (що розглядається нижче), то всі електричні величини не залежать від часу та . Тоді

. (3)

Згідно із законом Ома в диференціальній формі

, (4)

де – питома провідність середовища. Відповідно

. (5)

Для однорідного провідного середовища () з урахуванням (3) маємо

Ми бачимо, що поле в провідному середовищі за певних умов задовольняє тому ж рівнянню, що й електростатичне поле у вакуумі за відсутності об'ємних зарядів.

Однак, щоб показати співпадіння та потрібно ще довести, що умови на границі електродів для обох полів є однакові. У загальному випадку ці граничні умови різні, тому що завжди перпендикулярно до поверхні провідника, а поле може не задовольняти цій умові. Поле буде завжди перпендикулярно до поверхні електродів будь-якої форми, якщо питома електропровідність середовища набагато менше електропровідності речовини електродів (наприклад, ). У цих умовах змінами потенціалу всередині електродів можна знехтувати, тобто вважати, що всі точки кожного електрода мають однаковий потенціал, а, відповідно, силові лінії поля будуть перпендикулярні до поверхонь електродів. Тому можна вважати, що обидва поля і не тільки задовольняють однаковому диференціальному рівнянню, але й однаковим граничним умовам, а отже обидва поля співпадають. Разом з тим, використання постійних струмів буде призводити до виникнення явища електроліза. В результаті електроліза на поверхнях електродів можуть утворитись непровідні покриття, що призведе до порушення граничних умов. Щоб позбутися цього, потрібно використовувати змінні струми. Однак використання змінних струмів, в свою чергу, вимагає виконання умови квазістаціонарності.

З'ясуємо, коли буде виконуватися умова квазістаціонарності в методі електролітичної ванни. Умова квазістаціонарності припускає, що миттєве значення струму однакове у всіх поперечних перерізах провідників, що під'єднані до електродів, а миттєве електричне поле між електродами таке ж, як в електростатиці при тих самих зарядах на електродах.

Для цього всі зміни в часі повинні відбуватися настільки повільно, щоб поширення електродинамічних взаємодій можна було вважати миттєвим. Такі взаємодії в середовищі поширюються зі швидкістю , де – швидкість світла у вакуумі, та – діелектрична й магнітна проникності середовища відповідно. На проходження відстані електромагнітна хвиля витрачає час . Умова квазістаціонарності буде виконана, якщо або , де – період електричних коливань, – довжина електромагнітної хвилі. Таким чином, характерні розміри ванни повинні бути значно менше довжини електромагнітної хвилі в електроліті.

Практичне застосування методу електролітичної ванни. Електронний закон заломлення.

При практичному застосуванні методу електролітичної ванни виникають експериментальні труднощі. Одна з них полягає в тому, що розміри ванни повинні бути великі в порівнянні з розмірами досліджуваної системи електродів. Самі електроди повинні бути занурені у ванну глибоко, щоб наявність вільної поверхні електроліту істотно не спотворювала досліджуване поле. Але тоді ванна мала б занадто великі розміри. Потрібні були б якісь пристосування для введення й утримання зонда в потрібних точках простору, а вони привели б до помітних спотворень досліджуваного поля. Крім того, деякі області досліджуваного поля могли б виявитися недоступними для введення зонда (наприклад, всі частини простору повністю оточені замкнутою металевою оболонкою). Ці труднощі можна подолати, якщо використати метод перерізів. Метод перерізів можна застосовувати для дослідження полів, що мають осьову симетрію. Це найбільш важливий випадок, що зустрічається на практиці. Очевидно, що досить дослідити розподіл електричного потенціалу в будь-якій площині симетрії, що проходить через вісь моделі.

Тому зрозуміло, що для відтворення досліджуваного поля немає необхідності застосовувати цільні електроди. Достатньо взяти їх частини (половинки), що утворяться внаслідок розрізування цільних електродів по площині, що проходить через вісь симетрії. Це й використовується в методі перерізів. Виготовлені половинки електродів занурюють у ванну таким чином, щоб площина розрізу співпала з вільною поверхнею електроліту. Розподіл потенціалу досить виміряти лише на одній тільки вільній поверхні, що експериментально дуже зручно.

Якщо необхідно досліджувати розподіл потенціалів для електродів із пласкою симетрією, то для цього досить виготовити модель електродів невеликої висоти. Дзеркальні зображення їх у дні ванни та у повітрі доповнять модель до нескінченних розмірів.

Метод перерізів дає можливість визначити эквіпотенційні поверхні для моделі електростатичної лінзи, що складається із двох пласких електродів, які знаходяться під одним потенціалом, та одного плаского кільця. Така геометрія електродів створює досить складну конфігурацію електростатичного поля. Опис руху заряджених частинок (наприклад, електрона) у такому полі досить складний. Однак можна прийти до досить загальних кількісних уявлень шляхом використання аналогії, що придатна і для кількісних розрахунків. Траєкторія зарядженої частинки, що рухається в довільному електростатичному полі, співпадає із траєкторією променя світла, що поширюється в середовищі, показник заломлення якої змінюється за заданим законом. Коефіцієнт заломлення в кожній точці простору визначається локальним значенням виміряної напруги. Розглянемо цю аналогію більш докладно.

Відомо, що світло в однорідному та ізотропному середовищі поширюється прямолінійно, а на границі двох середовищ з показниками заломлення та заломлюється відповідно до закону Декарта-Снелліуса

, (6)

де та – кути падіння та заломлення відповідно.

Щоб одержати аналогічне співвідношення для електрона, що рухається в електростатичному полі, розглянемо, як зміниться траєкторія електрона, якщо він переходить із області простору з потенціалом в область простору з потенціалом (рис. 1). Між цими областями існує нескінченно мала область (проміжний шар – від до ) де потенціал майже стрибкоподібно змінюється від до . Оскільки потенціал всередині кожної з цих областей простору приймається постійним, то напруженість поля в цих областях дорівнює нулю. Але між цими двома частинами простору, тобто в проміжному шарі, існує перпендикулярне до граничної поверхні поле, тому що .

Рис.1. Викривлення траєкторії електрона внаслідок його переходу із області простору з потенціалом в область простору з потенціалом

Таким чином, у проміжному шарі відбувається зміна лише нормальної складової швидкості електрона, що перпендикулярна до еквіпотенціальних поверхонь. Тангенціальна складова швидкості не змінюється, а відповідно, маючи на увазі, що поверхні та нескінченно близькі одна до одної, можна записати

, (7)

звідки

. (8)

Якщо підставити у (8) значення швидкості електрона, отримане з закона збереження енергії,

– початкова кінетична енергія електрона, що влітає у електричне поле, – абсолютне значення заряду електрона, а . Тоді маємо

. (9)

Порівняння рівняння (9) з (6) показує, що роль "оптичного" показника заломлення відіграє вираз

, (10)

який можна вважати електричним коефіцієнтом заломлення.

Зазначена аналогія має велике практичне значення. Вона дозволяє перенести добре розроблену теорію геометричної оптики, а також наочні методи розрахунку оптичних приладів на опис руху електронів та створення електронної апаратури. З такої аналогії одразу випливає можливість існування фокусуючих електронних пристроїв – електронних лінз.

Наведеними вище міркуваннями можна скористатися для наближеного визначення траєкторії зарядженої частинки в будь-якому складному електростатичному полі при визначених еквіпотенціальних поверхнях. У самому грубому наближенні значення потенціалу можна розглядати постійним між еквіпотенціальними поверхнями та , та таким, що стрибкоподібно змінюється у нескінченно малому околі еквіпотенційної поверхні (рис.2).

Рис.2. Траєкторія електрона у складному електростатичному полі при відомому просторовому розподілу эквіпотенціальних поверхонь

Тоді реальний розподіл потенціалу у площині – криву 1, можна наближено замінити кривою 2. Причому співпадіння цих розподілів буде тим точніше, чим щільніше розташовані еквіпотенціалі . В результаті ми отримали набір варіантів подібних до випадку зображеного на рис.1. Тому можна визначити послідовно один за одним кути заломлення на кожній еквіпотенціалі , використовуючи для цього співвідношення

, (11)

та приблизно представити траєкторію електрона на підставі закону заломлення ламаною лінією.

Розглянемо конструктивні особливості та принцип дії моделі електронної (іонної) лінзи (рис.3). Пучок електронів з енергією попадає в область дії лінзи. Електроди та мають однаковий потенціал (наприклад 0), а діафрагма для забезпечення фокусуючого ефекту повинна мати потенціал менше (). Необхідно пам'ятати, що на підставі методу подібності ці значення можуть бути збільшені або зменшені в будь-яке число разів.

Наближений вигляд еквіпотенціалей у такій системі наведений на рис.3 пунктирними лініями. Там також схематично стрілками показано напрямок векторів локальних сил, що діють на електрон. В області гальмуючі сили електричного поля виконують фокусуючу дію. В області сили електричного поля прискорюють рух електрона та фокусують електронний пучок.