Тема: «Рівняння, що зводяться до лінійних»

Мета:

– вироблення вмінь та удосконалення навичок на основі лінійних рівнянь розв’язувати загальні диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних (рівняння Бернуллі, Ріккаті, Міндінг-Дарбу);

– вироблення вмінь зводити диференціальне рівняння до лінійного рівняння;

– розвиток продуктивного мислення;

– виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення диференціального лінійного рівняння та рівняння, що зводиться до нього, методи їх розв'язування;

уміти: застосовувати знання для розв'язування лінійних рівнянь та рівнянь, що до них зводяться;

здатні: розв'язувати загальні рівняння, що зводяться до лінійних.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп’ютер.

Час: 2 год.

План заняття

I. Організаційний момент.

II. Вироблення вмінь та навичок (виступи із заздалегідь підготовлені доповідями).

III. Контроль.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. – 2-ге вид., перероб. і допов. – К.: Вища школа, 1991 – 336 с.

3. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

4. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Хід заняття

I. Привітання із студентами, повідомлення мети й завдань заняття, перевірка присутніх, оголошення й аналіз результатів самостійної роботи.

II. Метаетапу: вироблення вмінь та удосконалення навичок розв’язувати загальні диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних.

Заздалегідь студенти були розділені на три групи, кожна з яких готувала доповіді про види рівнянь, які зводяться до лінійних. Виступ повинен містити: загальний вид рівняння та приклади розв'язування. Оцінювання включає в себе: зміст виступу (оцінка – «4») та відповіді на додаткові запитання групи та викладача (оцінка – «5»).

Виступ групи №1. «Рівняння Бернуллі»

Рівняння Бернуллі має вид:

Розв'язування задач.

Задача 1.

При розв’язуванні рівняння Бернуллі краще зразу використати підстановку Бернуллі:

Отож,

.

Задача 2.

Застосовуємо підстановку Бернуллі:

Виступ групи №2. «Рівняння Міндінг-Дарбу»

Рівняння Міндінг-Дарбу має вид де виміру , виміру . При розв’язуванні роблять заміну і розв’язують як однорідне диференціальне рівняння.

Розв'язування задач.

Задача 1.

Робимо заміну: . Звідки ,

Методом невизначених коефіцієнтів знайшли невідомі:

Задача 2.

Робимо заміну: . Звідки ,

або .

1. Виступ групи №2. «Рівняння Ріккаті»

Рівняння Ріккаті має загальний вид .

Звернути увагу!!!! - обов’язковий елемент рівняння.

Для кожного виду рівняння Ріккаті існує своя підстановка:

або , або .

Щоб визначити, яку підстановку вибирати – треба перевіряти.

Розв'язування задач.

Задача 1.

Вибираємо підстановку: .

Тоді .

Тому звідки:

Підставляємо:

III. Мета етапу: перевірка вмінь та навичок студентів розв’язувати однорідні диференціальні рівняння та рівняння з відокремлюючими змінними.

Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на наступному занятті.

Перший варіант 1.Розв’язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:

Другий варіант 1.Розв’язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:

Домашнє завдання: за підручником [1] розв’язати на ст. 35 (P.L.1.4.) №1(15-21)

Практичне заняття 4