Диференціальні рівняння, основні визначення
ü рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називаються диференціальними рівняннями;
ü якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичайним: ;
ü якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією двох і більшого числа незалежних змінних, то таке диференціальне рівняння називається рівнянням у частинних похідних;
ü порядком диференціального рівняння називається максимальний порядок похідної (або диференціала), що входить у нього;
ü розв’язком диференціального рівняння називається разів диференційована функція в інтервалі , яка, будучи підставленою в це рівняння, перетворює його в інтервалі в тотожність ;
ü розв’язати диференціальне рівняння – означає знайти всі його розв'язки;
ü операція знаходження розв’язків диференціального рівняння називається інтегруванням цього рівняння;
|
|
ü задача інтегрування диференціального рівняння вважається розв’язаною, якщо цю задачу звести до більш простої і вже вивченої в курсі інтегрального числення задачі обчислення невизначених інтегралів.
Диференціальні рівняння першого порядку
ü диференціальне рівняння першого порядку має вигляд ;
ü якщо в рівнянні функція і її частинна похідна по у неперервні в деякій області D на площині 0 ху, яка містить деяку точку , то існує єдиний розв'язок цього рівняння ,
який задовольняє умові при ;
ü умова, що при функція у повинна дорівнюватися заданому числу , називається початковою умовою, або умовою Коші: або ;
ü задача, у якій потрібно знайти частинний розв'язок рівняння , який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші;
ü загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція ;
ü рівність вигляду , яка неявно задає загальний розв'язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння;
ü частинним розв'язком називається будь-яка функція , яка утворюється з загального розв'язку , якщо в останньому довільної сталої С придати визначене значення ;
ü співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом рівняння;
ü вирішити або проінтегрувати диференціальне рівняння - значить:
а) знайти його загальний розв'язок або загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані) або
б) знайти той частинний розв'язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам (якщо такі є);
ü особливим розв'язком називається такий розв'язок, у всіх точках якого умова одиничності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки особливого розв'язку існують принаймні дві інтегральні криві, які проходять через цю точку.
|
|
Диференціальні рівняння із відокремлюючими змінними
ü диференціальне рівняння типу
називають рівнянням із відокремлюючими змінними, в цьому рівнянні змінні відокремлені, тобто при знаходиться тільки функція від х, а при - тільки функція від у;
ü диференціальні рівняння, у яких змінні можна розділити за допомогою множення або ділення обох частин рівняння на той самий вираз, називаються диференціальними рівняннями із змінними, які відокремлюються: .
Однорідні рівняння першого порядку
ü функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність ;
ü рівняння виду називається однорідним, якщо функції при і є однорідними однакового порядку.
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
ü лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, що має вигляд , де і - задані неперервні функції від х (або сталі);
ü якщо , то рівняння називається лінійним однорідним;
ü якщо , то рівняння називається лінійним неоднорідним;
ü рівняннямБернуллі називається рівняня виду або ;
ü суть методу Лагранжа полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння . Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді .
Диференціальні рівняння в повних диференціалах
ü рівняння називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина – повний диференціал деякої функції , тобто ;
ü необхідною і достатньою умовою повного диференціала є рівність частинних похідних ;
ü загальний інтеграл рівняння в повних диференціалах має вигляд ;
ü щоб функція , неперервна в однов’язній області разом зі своїми частинними похідними і , була інтегруючим множником диференціального рівняння, необхідно і достатньо, щоб для всіх точок виконувалась рівність .
Контроль та корекція