Актуарні розрахунки у страхуванні життя

В особистому страхуванні актуарні розрахунки пов'язані з розробкою методів визначення страхових тарифів з довгострокового страхування життя, розрахунками щодо створення резервів страхових внесків і визначенням розміру викупних сум при страхуванні життя.

Побудова тарифів із страхування життя мас такі особливості:

—при визначенні тарифу використовують демографічну статистику;

—тарифні нетто-ставки складають із декількох частин, кожна з яких призначена для формування страхових резервів за одним із видів страхової відповідальності, включеної у договір страхування;

—при розрахунку тарифу використовують методи розрахунку доходів при довгострокових фінансових операціях, оскільки накопичені суми використовуються як інвестиційні ресурси, що забезпечують одержання доходів.

При розрахунку нетто-ставки використовують накопичувальний внесок, який призначений для виплати страхових сум після закінчення договору страхування, та ризикову премію, яка призначена для покриття ризиків у період дії договору страхування.

Для розрахунку страхових тарифів у страхуванні життя використовують таблиці смертності та середньої тривалості життя. Вони містять показники, які характеризують смертність в окремому віці х та ймовірність дожиття при переході від одного віку до іншого. Основні показники таблиць:

х — вік страхувальника (застрахованого), років;

L — кількість тих, що дожили до віку х;

D_x — кількість тих, що померли при переході від віку х до віку х + 1;

G_Х — ймовірність померлих протягом наступного року життя.

Показник G_x — відношення кількості тих, котрі померли при переході від віку х до х + 1, або це відношення:

У таблицях наводять також дані числа людино-років життя від х років і вище, середня тривалість життя, коефіцієнт дожиття тощо.

При обчисленні розміру страхових внесків враховують норму дохідності від вкладання коштів. Тимчасово вільні грошові кошти страховика можуть бути використані як кредитні ресурси. Норма дохідності — це розмір доходу, що приноситься кожною одиницею грошової суми, виражений у відсотках (відсоткова ставка).

Розрахунок доходу ґрунтується на формулі складних відсотків, тобто отриманий за рік дохід приєднується до початкової суми і в наступному році відсотки нараховуються на нову суму, що враховує раніше нараховані відсотки.

Щоб дізнатися, якою повинна бути сума страхового внеску С₀ через t років з урахуванням норми дохідності і, використовують формулу складного відсотка (майбутньої вартості грошей):

С_t=С₀(1 + і)^t,

де С_t — нарощена сума через t років; 1+t — відсотковий множник; t — кількість років (періодів).

Оберненою величиною до відсоткового множника є дисконтний множник:

Тоді початкова сума страхового внеску визначається за формулою теперішньої вартості гроіпей:

або C₀=C_t*V_t.

Розмір відсоткової ставки визначається за формулою:

Для визначення періоду фінансових операцій знаходять t:

Періодичні внески, або виплати, що проводяться на початку або в кінці обумовленого строку, називають рентою. Якщо на початку, то така рента називається пренумерандо, а якщо в кінці місяця, — то постнумерандо.

Вартість ренти пренумерандо S_n, що виплачується протягом п років, визначають за формулою:

де С₀ — рента, сплачена на початку кожного періоду; і — норма зростання (дохідності).

Вартість ренти постнумерандо S_n^′ дорівнює:

де V — дисконтний множник на 1 рік; Vⁿ — дисконтний множник на n років.

Для полегшення розрахунків розроблені спеціальні таблиці значень відсоткових і дисконтних множників.

Нетто премію страхування життя визначають з урахуванням строку страхування. При укладанні договору страхування життя використовують таблиці смертності, на основі яких визначають ймовірність страхових випадків і розмірів внеску.

Так, для визначення страхового внеску за особистим страхуванням важливо передбачити ймовірність смерті чи ймовірність захворювання. Наприклад, якщо кількість тих, хто доживає до 40 років (l_x), в Україні становить 9224 особи, а кількість тих, хто вмирає у віці від 40 до 41 року (d_x), — 374 особи, то імовірність смерті у віці від 40 до 41 року (q_x)становитиме:

Це означає, що з 10 тис. сорокалітніх до 41 року не доживуть 406 осіб.

Страховик передбачає, що, скажімо, найближчим часом (роком) із застрахованих у віці 40 років можуть померти 0,41 %.

Крім цього, до уваги беруть розмір страхової суми договору та норму прибутку.

Одноразова нетто-премія при страхуванні на дожиття nЕ_х розраховується за формулою

— l _x+1 кількість осіб, що дожили до закінчення строку страхування на n років; l_х — кількість осіб, що укладають договір у віці х років; V — дисконтний множник.

Наприклад, страховий поліс хоче придбати особа 40 років строком на З роки при відсотковій ставці в рік 2,2 %.

Ймовірність не дожити до 43 років дорівнює 0,00503, тоді:

При страхуванні на суму 100 грн нетто-премія складає: 3,78 грн, на суму 1000 грн — 37,8 грн тощо.

Для зручності обчислення в страхових компаніях складають розгорнуті таблиці, в яких вказують одноразові нетто-премії за страхуванням на дожиття в грошових одиницях зі 100 грн страхової суми з урахуванням віку застрахованого та періоду страхування.

За довгостроковими видами страхування формують певний резерв премій, сума якого з року в рік безперервно збільшується. Це пов'язано з тим, що страхова компанія на випадок припинення надходження страхових платежів або дії договору страхування, несе певні зобов'язання перед страхувальником.

Характер утворення резерву залежить від виду страхової відповідальності, включеної в умови договору: на дожиття, на випадок смерті, втрати здоров'я тощо.

Резерв внесків може бути позначений:

де х — відповідальність при укладенні договорів страхування; n — період страхування; t — початок дії договору страхування.

Резерв внесків при страхуванні на дожиття визначається:

де _nЕ_х— одноразова нетто-премія на доживання; 0 — початок строку страхування одноразове погашення внесків; S — страхова сума.

— резерв внесків у кінці t-років.

Формула резерву при страхуванні на випадок смерті аналогічна страхуванню на дожиття. На відміну від резерву на дожиття в кінці t-періоду резерв на випадок смерті дорівнює 0.

При визначенні викупної суми за основу служить резерв накопичених премій, який виплачується не в повному розмірі, а за мінусом певної частки (наприклад, 25—30 % у розвинених європейських країнах).