Рассмотрим примерную схему по которой целесообразно исследовать поведение функции и строить ее график.
1. Найти область определения функции .
2. Проверить функцию на четность и нечетность
3. Найти асимптоты.
4. Найти точки возможного экстремума, т. е. критические точки I – го рода.
5. Найти точки возможного перегиба, т. е. критические точки II-го рода.
6. Составить сводную таблицу.
7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат
8. Построить график функции, учитывая проведенное исследование.
9.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1. , кроме х=-1.
2. функция ни четная ни нечетная
3. ; ; х=-1 точка разрыва функции 2 – го рода, а прямая х=-1 – вертикальная асимптота.
;
Следовательно наклонная асимптота
4. ; ;
; ; - критические точки I-го рода
5. = ;
; критических точек второго рода нет.
-2 | () | -1 | (-1; 0) | ||||||||||
y’ | + | - | - | + | |||||||||
- | - | + | + | ||||||||||
y |
| -4 |
| т р. |
|
Заключение.
|
|
Важной особенностью рассмотренного способа является то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изучение характерных особенностей в поведении кривой. Места, где функция изменяется плавно, не изучаются особенно подробно, да и нет надобности в таком изучении. Зато те места, где функция имеет какие-либо особенности в поведении, подлежат полному исследованию и максимально точному графическому изображению. Этими особенностями являются точки максимума, минимума, точки разрыва функции и др.
Определение направления вогнутости и перегибов, а также указанный способ нахождения асимптот дают возможность провести исследование функций ещё более детально и получить более точное представление об их графиках.