Принцип максимума Л. С. Понтрягина

 

1. Принципу максимума Л.С. Понтрягина можно дать следующую геометрическую интерпретацию (рис. 7.1).

Пусть стоит задача о переводе за максимальное время изображающей точки из некоторого начального положения 0 в конечное положение К. Каждой точке фазового пространства, окружающей точку К, соответствует определенная оптимальная траектория и отвечающее ей минимальное время перехода в эту точку. Вокруг конечной точки можно построить поверхности, являющиеся геометрическим местом точек с одинаковым минимальным временем перехода в эту точку. Такие поверхности называются изохронами. Очевидно, что оптимальная по быстродействию траектория из точки 0 в конечную точку К должна быть максимально близка нормалям к изохронам, насколько это позволяют ограничения на координаты объекта управления.

Действительно, всякое движение вдоль изохрон увеличивает время процесса, так как означает затрату времени без уменьшения отрезка времени, остающегося до момента достижения конечной точки. Математически это условие оптимальности траектории означает, что на протяжении всей траектории скалярное произведение вектора скорости на вектор, обратный градиенту времени перехода в конечную точку, должно быть максимально. (Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними).

Рис. 7.1. Принцип максимума.

 

Если обозначить это произведение через H, а вектор, обратный градиенту времени перехода, через ψ, т.е. (рис.,7.1), то это условие можно записать следующим образом: …(7.19), где - координаты вектора и , т.е. условием оптимальности является максимум проекции вектора v на направление ψ.

Сформулированное условие оптимальности и есть принцип максимума Л.С. Понтрягина.

 

2. Допустим, что уравнение динамики САУ заданы в следующей общей форме:

…(7.20); ; - переменные, относящиеся к заданной части системы, включающей в себя регулируемый объект и не изменяемую в процессе синтеза часть регулятора; - переменные, выражающие воздействие проектируемой части САУ на заданную часть системы и называемые управляемыми. Неизменной частью САУ может быть, например, исполнительный привод, тогда будут воздействиями измерительно-преобразовательной части САУ на его силовую часть (рис. 7.2).

В рассматриваемом случае необходимо найти управления в виде:

; …(7.21).

Рис. 7.2. Структура САУ.

 

Во всякой реальной системе величины управлений будут иметь ограничения, например , или любые другие, определенные областью допустимых значений.

Критерием оптимальности системы пусть будет минимум некоторого функционала …(5.22).

Для удобства решения задачи вводится дополнительная искусственная переменная , определяемая уравнением:

(5.23), а также вспомогательные переменные , определяемые линейными однородными уравнениями вида:

…(5.24).

Если теперь ввести вспомогательную функцию H в виде:

…(5.25), то все уравнения (5.20), (5.23), (5.24) можно объединить в одну систему типа известной из механики системы уравнений Гамильтона, а именно:

…(5.26).

Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т.е. для получения минимума функционала I (5.22), необходимо существование таких нулевых функций , что при любом t, находящемся в заданном интервале , величина H, как функция переменных в заданной области их допустимых значений достигает максимума:

…(5.27), причем и М постоянны во времени и при , .

Для оптимальности по быстродействию имеем , а функция H принимает вид:

…(5.28), где .

В этом случае Гамильтонова система уравнений принимает вид:

…(5.29),

а принцип максимума будет следующим.

Для оптимальности системы по быстродействию необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций , что для всех t в заданном интервале функция H переменных в заданной области их допустимых значений достигает максимума: …(5.30), причем М постоянна во времени и .

Согласно приведенным формулировкам принцип максимума дает только необходимые условия оптимальности. Вопрос же о существовании ее и о случаях достаточности этих условий очень труден. Поэтому в практических приложениях предполагают достаточность по физическому смыслу исследуемой системы.