2017-12-16
538
36. Определение матрицы перехода. Изменение координат вектора при изменении базиса.Линейное невырожденное преобразование переменных.
37. Понятие отображения. Произведение (композиция) отображений. Ассоциативность произведения. Тождественное отображение и его свойства. Взаимно однозначное отображение. Обратное отображение.
38. Определение линейного оператора и его простейшие свойства. Теорема о существовании линейного оператора.
39. Определение матрицы линейного оператора. Связь координат вектора с координатами его образа.
40. Определение матрицы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобные матрицы. Лемма о подобных матрицах.
41. Геометрический смысл определителя матрицы линейного оператора.
Операции над линейными операторами. Теорема о матрице.
43. Невырожденные линейные операторы. Теорема о матрице.
44. Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности.
Обратный линейный оператор.
46. Определение и свойства изоморфизма линейных пространств.
|
|
|
47. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема о размерности изоморфных пространств.
48. Определение изоморфизма линейных пространств. Теорема об изоморфности пространств одинаковой размерности.
49. Линейные формы.
Определение и свойства собственных векторов.
Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора и его матрицы. Правило нахождения собственных векторов. Лемма о решении вырожденной однородной системы линейных уравнений.
52. Лемма о диагональном виде матрицы линейного оператора. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и первая теорема о приводимости. Следствие. Замечание о матрице, приводящей матрицу А к диагональному виду.
53. Лемма о размерности пространства собственных векторов с одинаковыми собственными значениями.
Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости.
Присоединенные векторы и правило их нахождения.
56. Определение билинейной формы и различные способы её записи.
57. Изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.
58. Невырожденные и симметричные билинейные формы и их матрицы.
Квадратичные формы и их связь с билинейными формами. Различные способы записи квадратичной формы. Изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса.
60. Канонический и нормальный виды квадратичной формы. Метод Лагранжа (примеры). Закон инерции.
61. Определение знакоопределенной квадратичной формы. Полуопределенные формы. Необходимое условие знакоопределенности. Исследование знакоопределенности по каноническому виду.
|
|
|
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.
63. Аксиоматическое определение скалярного произведения на действительном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Действительные евклидовы пространства. Псевдоевклидовы пространства.
Аксиоматическое определение скалярного произведения на комплексном линейном пространстве. Следствия из аксиом. Комплексные евклидовы пространства.
