ТИПЫ ЗАДАЧ, которые необходимо уметь решать для получения оценки восемь

44. Про матрицу известно, что , а . Докажите, что

45. С помощью элементарных преобразований вычислите обратную матрицу для матрицы .

46. Проверьте, является ли действительным линейным пространством множество положительных действительных чисел, если в качестве внутренней операции взять умножение чисел, а в качестве внешней – возведение в степень.

47. Проверьте, являются ли действительными линейными пространствами относительно обычных операций сложения матриц и умножения матриц на действительное число следующие множества матриц:

а) ; б)

в) .

Если является, найдите какой-либо базис этого пространства и укажите его размерность.

48. Проверьте, являются ли действительными линейными пространствами относительно обычных операций сложения функций и умножения функций на действительное число следующие множества функций:

а) ; б) :

в) .

49. Пусть . Проверьте, является ли линейным пространством относительно следующих операций сложения и умножения на действительное число:

а) ;

б) .

50. Проверьте, будет ли отображение линейным оператором, если . Если да, запишите его матрицу в базисе .

51. Проверьте, будет ли отображение линейным оператором, если . Если да, запишите его матрицу в базисе .

52. Проверьте, будет ли отображение линейным оператором, если . Если да, запишите его матрицу в базисе .

53. Покажите, что отображение пространства матриц второго порядка в себя является линейным и запишите его матрицу в базисе

если для каждой квадратной матрицы Х второго порядка: а) , б) , где .

54. В базисе пространства многочленов степени не выше двух матрица линейного оператора имеет вид . Запишите его матрицу в базисе .

55. Найдите базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей , если .

56. Найдите ортогональное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и запишите этот канонический вид для следующих квадратичных форм: а) ; б) .

57. Выясните, при каких значениях параметра квадратичная форма положительно определена и при каких она отрицательно определена для следующих квадратичных форм:

а) ;

б) .

58. Определите вид линии второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Нарисуйте эту кривую.

59. Определите вид поверхности второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду.

60. Определите вид поверхности второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду.

61. В пространстве многочленов степени не выше двух скалярное произведение задано формулой . При помощи процесса ортогонализации постройте в этом пространстве ортонормированный базис, исходя из базиса .