Вычисление определителей на основании их свойств, например:
26. Числа 24026, 40262, 02624, 26240, 62402 делятся на 41. Докажите, что на 41 делится определитель .
27. Методом рекуррентных соотношений вычислите определитель Вандермонда .
28. Вычислить следующие определители:
а) ; б) ;
в) ;
29. При помощи теоремы Лапласа вычислите определитель
.
Решение систем линейных уравнений, например:
30. Решите матричные уравнения, используя обратную матрицу:
.
Исследование на линейную зависимость элементов линейного пространства, например:
31. Исследуйте на линейную зависимость систему матриц:
.
32. Докажите линейную зависимость функций
33. Докажите линейную независимость функций
а) ;б) ; в)
Составление матрицы перехода, например:
34. Запишите матрицу перехода от базиса к базису .
35. Запишите матрицу перехода от базиса
к базису .
Определение линейного оператора и его матрицы, например:
36. Проверьте, будет ли отображение линейным оператором, если , где – некоторый фиксированный вектор. Если является, запишите его матрицу в базисе при .
|
|
37. Покажите, что в трехмерном линейном пространстве следующие операторы являются линейными и запишите матрицу каждого из них в базисе :
а) симметрии относительно плоскости ; б) симметрии относительно оси ; в)симметрии относительно начала координат; г) проектирования на плоскость ; д) проектирования на ось .
Вычисление собственных значений и собственных векторов, приведение квадратной матрицы к диагональному виду, например:
38. Найдите собственные векторы линейного оператора комплексного трехмерного линейного пространства в себя, матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей
39. Для матрицы А найдите диагональный вид и невырожденную матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, если
40. Найдите базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе пространства имеет вид:
а) ; б) ; в)
г) ; д) ; е) ;
ж) .
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, например:
41. Найдите канонический вид и одно из невырожденных линейных преобразований переменных, приводящих квадратичную форму к этому каноническому виду.
Приведение к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка, например:
42. Определите вид линии второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Нарисуйте эту кривую.
43. Определите вид поверхности второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду.