2017-12-16
337
Вычисление определителей на основании их свойств, например:
26. Числа 24026, 40262, 02624, 26240, 62402 делятся на 41. Докажите, что на 41 делится определитель 
.
27. Методом рекуррентных соотношений вычислите определитель Вандермонда 
.
28. Вычислить следующие определители:
а) 
; б) 
;
в) 
;
29. При помощи теоремы Лапласа вычислите определитель
.
Решение систем линейных уравнений, например:
30. Решите матричные уравнения, используя обратную матрицу:
.
Исследование на линейную зависимость элементов линейного пространства, например:
31. Исследуйте на линейную зависимость систему матриц:
.
32. Докажите линейную зависимость функций
33. Докажите линейную независимость функций
а) 
;б) 
; в) 
Составление матрицы перехода, например:
34. Запишите матрицу перехода от базиса 
к базису 
.
35. Запишите матрицу перехода от базиса
к базису 
.
Определение линейного оператора и его матрицы, например:
36. Проверьте, будет ли отображение 
линейным оператором, если 
, где – некоторый фиксированный вектор. Если является, запишите его матрицу в базисе 
при 
.
37. Покажите, что в трехмерном линейном пространстве следующие операторы являются линейными и запишите матрицу каждого из них в базисе :
а) симметрии относительно плоскости 
; б) симметрии относительно оси 
; в)симметрии относительно начала координат; г) проектирования на плоскость ; д) проектирования на ось .
Вычисление собственных значений и собственных векторов, приведение квадратной матрицы к диагональному виду, например:
38. Найдите собственные векторы линейного оператора комплексного трехмерного линейного пространства в себя, матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей
39. Для матрицы А найдите диагональный вид и невырожденную матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, если
40. Найдите базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора 
, матрица которого в некотором базисе пространства 
имеет вид:
а) 
; б) 
; в) 
г) ; д) ; е) 
;
ж) .
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, например:
41. Найдите канонический вид и одно из невырожденных линейных преобразований переменных, приводящих квадратичную форму 
к этому каноническому виду.
Приведение к каноническому виду уравнений линий и поверхностей второго порядка, например:
42. Определите вид линии второго порядка 
, приведя ее уравнение к каноническому виду. Нарисуйте эту кривую.
43. Определите вид поверхности второго порядка 
, приведя ее уравнение к каноническому виду.
