2018-01-08
309
(выборки):
μ =
σ
n
= σ n – повторный отбор,
μ σ
)1(
– бесповторный отбор,
где 2σ – дисперсия;
=
n
- N n
n – объем выборочной совокупности;
N – объем генеральной совокупности.
Вероятность отклонений
x -
в
от
x -
г
при достаточно большом числе
отобранных единиц подчиняется закону нормального распределения.
Вероятность этих отклонений при различных значениях коэффициента
доверия (t) определяется:
F
)(t
= 1 2
π
t
2 dte t
-
t 2
Разработаны специальные таблицы, в которых показано значение
функции F
(t)
∫ -
при определенных значениях t:
если t = 1 P = 0,683
t = 2 P = 0,954
t = 3 P = 0,997
Ошибка выборки гарантируется с определенной вероятностью и
определяется путем вычисления предельной ошибки выборки:
∆ x
= t
× μ,
где
∆ x
– предельная ошибка выборки;
μ – средняя ошибка выборки;
t – коэффициент доверия, который устанавливается (по специальным
таблицам) на основе заданной вероятности.
Задаваемая вероятность называется доверительной вероятностью,
|
|
|
которая признается достаточной при установлении границ случайных
колебаний изучаемого явления. При изучении социально-экономических
явлений в статистике обычно используется вероятность Р = 0,95. Это
означает, что в 95 случаях из 100
x -
г
будет находиться в рассчитанных
границах:
xx -
г
=
- в ± ∆ x
Доверительная вероятность применяется для суждения о том, являются
ли достоверными характеристики, полученные с помощью выборочного
метода. Проверка производится методами математической статистики с
помощью определения вероятности нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза –
предположение о том, что различия между средними случайны.
Если вероятность нулевой гипотезы Р
н.г.
〉 0,05 – различия случайны.
Если вероятность нулевой гипотезы Р
н.г.
〈 0,05 – различия существенны.
Зачастую совокупность может характеризоваться не средней
величиной
x, -
а долей – w (например, удельный вес женщин в численности
населения, доля прибыльных предприятий, процент бракованной продукции
и т.д.).
Определение ошибки репрезентативности для доли
В этом случае принимаются следующие обозначения:
w – доля единиц, обладающих данным свойством;
w–1 – доля единиц, не обладающих данным свойством.
Ошибка выборочной доли определяется:
β = t
ww
)1(-
n
– повторный отбор,
β = t ww
)1(- n
)1(
-
N n
– бесповторный отбор.
С определенной степенью вероятности можно утверждать, что доля
признака в генеральной совокупности будет находится в пределах:
ww
г
= в ± β Выборочный метод позволяет решать следующие типы задач:
1. Определение пределов колебаний выборочной средней.
|
|
|
Пример: на одном из автобусных маршрутов посредством случайной
повторной выборки обследовано 900 пассажиров. По результатам
наблюдения средняя дальность поездки составила 4,5 км, среднее
квадратическое отклонение – 1,0 км. С вероятностью 0,954 определите
возможные пределы средней дальности поездки пассажиров.
Таким образом, известно: n = 900
x -
в
= 4,5 км σ = 1,0 км P = 0,954 ⇒ t = 2 ∆ x
–?
Решение:
Рассчитаем μ по формуле
μ = σ
n
: 0,1
= 033,0
км.
Определим
∆ x
= tμ = 2 * 0,033 = 0,07 км
Вывод: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя дальность
поездки пассажиров будет находиться в пределах: x -
г км 2. Определение степени надежности выборочной средней при заданной
ошибке:
Известны
x
= 7,05,4 ± ∆, σ, n. Определите уровень вероятности – P.
∆ x
= tt
μ = σ
n
;
t =
∆
x μ
=
∆
x σ n
3. Определение численности выборочной совокупности
а) для средней:
n
=
t
∆ 22 σ 2
x
– повторный отбор
n
= ∆
Nt
22 σ
x
tN
+ 22 σ
– бесповторный отбор
б) для доли:
n
= tww
)1(- β
2 – повторный отбор
n
=
w (1 - w)
t 2
∙
N β
2 N + t 2
w (1 -
w)
– бесповторный отбор
МАЛАЯ ВЫБОРКА
Малой выборкой называется выборочное наблюдение, объем которого
не превышает 20 единиц.
В этом случае распределение вероятностей ошибки
репрезентативности не является нормальным, т.е. не подчиняется закону
нормального распределения. Рассмотренные ранее формулы не могут быть
применены.
Для определения возможных пределов ошибки используется критерий
Стьюдента:
` = ~ -
-
,
мв
где
1-
t
xx
μ
μ мв
=
σ n
– средняя ошибка малой выборки.
Величина σ вычисляется на основе данных выборочного наблюдения и
не используется для приближенной оценки σ в генеральной совокупности:
n σ = Σ
(xx
i
- ~
2)
.
Предельная ошибка малой выборки определяется на основе средней
ошибки:
∆ мв
= t × μ мв.
В данном случае значение t иначе связано с вероятностной оценкой,
чем при большой выборке. Вероятностная оценка зависит не только от
величины t, но и от объема выборки. На основании этих значений по
специальной таблице (распределение вероятности в малых выборках в
зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки) определяется
доверительная вероятность. Например, при t = 2 и n = 15 с вероятностью
0,936 можно утверждать, что расхождение между выборочной и генеральной средней будет находиться в пределах ~
x ± μ2
.
Пример: по результатам выборочного обследования 10 жителей
поселка выявлена доля расходов населения в структуре их доходов на
покупку валюты:
4,5 4,8 4,0 3,4 3,5 2,5 3,0 3,6 3,7 5,5
Определите пределы колебаний доли расходов на покупку валюты в
целом по поселку.
Решение:
Найдем среднее выборочное значение:
~ x
= 8,55,57,36,30,35,25,34,30,48,45,4
+
+ + + + + + + + + 10
=
5,38 10
= %9,3
Определим выборочное среднее квадратическое отклонение:
σ
=)9,35,5(...)9,30,4()9,38,4()9,35,4(-
+ - 2 + - 2 + + 10
- 2 =
05,7 10
= %84,0705,0 = Средняя ошибка выборки будет равна:
μ
мв
=
84,0 110
-
=
84,0 3
= %28,0
При коэффициенте доверия t = 2 и объеме совокупности n = 10
доверительная вероятность равна 0,924. Таким образом, средняя доля
расходов населения на валюту с вероятностью 0,924 будет находиться в
пределах 3,9±0,56 % (от 3,34 до 4,46 %) от общей величины доходов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. В чем особенности значения и сущности выборочного наблюдения?
2. Какие имеются виды отбора в выборочную совокупность и условия
их применения?
3. Чем определяется репрезентативность выборочной совокупности?
4. Что такое средняя и предельная ошибки выборочного наблюдения и
от чего они зависят?
5. Как определить необходимый объем выборки при разных способах
отбора?
6. Когда выборочное наблюдение называют малой выборкой?
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
|
|
|
1. Гинзбург, А.И. Статистика / А.И. Гинзбург. – СПб: Питер, 2002. –
128 с.
2. Гусаров, В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов / В.М. Гусаров.
– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 463с.
3. Елисеева, И.И. Общая теория статистика: Учебник. / И.И. Елисеева,
М.М. Юзбашев; Под редакцией чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. – 4-е изд.,
перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 480 с.
4. Ефимова, М. Р. Общая теория статистики: учебник. / М.Р. Ефимова,
Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. –
416с.
5. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении
коммерческой деятельности: Учебник / А.И. Харламова, О.Э. Башина, В.Т.
Бабурин и др.; Под редакцией О.Э. Башиной, А.А. Спирина, – 5-е изд.,
перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 440 с.: ил.
6. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А.
Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 416 с.
7. Рудакова, Р.П. Статистика: учеб. пособие / Р.П. Рудакова. – СПб.:
Питер, 2007. – 288 с.: ил.
8. Ряузов, Н.Н. Общая теория статистики: Учебник. – 3-е изд., перераб.
и доп. – М.: Статистика, 1979. – 344 с.
9. Статистика: курс лекций. / Л.П. Харченко, В.Г. Долженкова, В.Г.
Ионин и др.; Под ред. к.э.н. В.Г. Ионина. – Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ;
М.: ИНФРА-М, 1998. – 310 с.
10. Статистика: Учеб. пособие / Под ред. М.Р. Ефимовой. – М.:
ИНФРА-М, 2000. – 336с.
11. Теория статистики: Учебник / Под ред. Г.Л. Громыко. – М.:
ИНФРА-М, 2000. – 414с.
12. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – 4-е
изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 656 с.
13. Теория статистики с основами теории вероятностей / Под ред.
И.И.Елисеевой. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 446с.
14. Экономическая статистика. 2-е изд., доп.: Учебник. / Под ред. Ю.Н.
Иванова. – М.: ИНФРА-М, 2003. – 480 с.
