Теория метода и описание установки. Лабораторная работа № 4

Лабораторная работа № 4

Цель работы: определить ускорение силы тяжести с помощью математического и оборотного маятников.

Приборы и оборудование: универсальный маятник, миллисекундомер.

Теория метода и описание установки

Универсальный маятник состоит из нескольких узлов (рис. 4.1)

На вертикальной стойке основания 1 крепится кронштейн 2, который может поворачиваться вокруг стойки на 360^o с фиксацией в любом выбранном положении. С одной стороны кронштейна подвешен математический маятник 3, а с другой физический оборотный маятник 4.

Математический маятник представляет собой металлический шарик 5 на бифилярном подвесе, длину которого можно измерить, вращая ручку 6. Шкала 10, нанесённая на вертикальную стойку, предназначена для определения длины математического маятника. Период колебаний такого маятника определяется формулой

(4.1)

где l – длина нитей; g – ускорение силы тяжести.

Физический маятник – это твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг подвеса – неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.

Если амплитуда маятника мала то период колебаний выражается формулой

 

(4.2)

которая сводится к виду (4.1) подстановкой

(4.3)

где J – момент инерции физического мятника относительно оси подвеса; m – масса маятника; а – расстояние между осью подвеса и центром тяжести маятника. Величина l называется приведённая длиной физического маятника. Можно сказать, что приведённая длина физического маятника – это такая длина математического маятника, при которой их периоды колебаний равны.

Важной характеристикой физического маятника является центр качаний – точка, лежащая на прямой, проходящей через центр масс перпендикулярно оси подвеса на расстоянии l от этой оси.

Физический оборотный маятник, используемый в работе, - это стальной стержень 7 с двумя грузами – чечевицами 8, подвешенный на одной из двух опорных призм 9. Грузы могут перемещаться по всей длине стержня и фиксироваться в требуемом положении (см. рис. 4.1).

В нижней части стойки закреплён фотоэлектрический датчик 11. Кронштейн 12 с датчиком может перемещаться как вдоль, так и вокруг вертикальной стоки и фиксироваться в любом положении. Датчик предназначен для подачи электрических сигналов на электронный счётчик 13, одновременно регистрируя время и число полных колебаний маятника, взаимодействующих с датчиком.

При определении ускорения свободного падения методом оборотного маятника используется свойство сопряжённости точки подвеса и центра качения физического маятника. Это свойство заключается в следующем. В любом физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника к одной или другой из них период колебания его не меняется. Расстояние между этими точками определяет приведённую длину данного маятника.

Теоремой Штейнера момент инерции маятника относительно оси качения определяется как сумма:

J=J₀+ma², (4.4)

где J₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно оси качения; а – расстояние от центра масс маятника до оси качения.

Из уравнений, записанных для подвеса на обеих опорных призмах, имеем:

(4.5)

Следовательно,

Отсюда

(4.6)

Если опорные призмы находятся на расстоянии l друг от друга, то при перевешивании (перевороте) маятника период его колебаний изменяться не будет. Тогда T₁=T₂=T, l=a₁+a₂ и

(4.7)

Таким образом, задача сводится к определению положению центра подвеса, причём очевидно, что при любом изменении взаимного расположения призм и грузов будут изменяться момент инерции, положение центра масс, приведённая длина и период колебания маятника. Необходимо помнить, что формально условие Т₁=Т₂ справедливо и для взаимносимметричного расположения грузов и призм относительно середины стержня, но при этом может не выполняться условие а₁+а₂=l из-за вырождения системы уравнений (4.5) и возникновении определённости вида (0/0) в уравнении (4.6).