2018-01-08
508
Системи комп'ютерної алгебри забезпечуються спеціальним процесором для виконання аналітичних (символьних) обчислень. Його основою є ядро, що зберігає всю сукупність формул та формульних перетворень, за допомогою яких проводяться аналітичні обчислення. Чим більше цих формул в ядрі, тим надійніше робота символьного процесора і тим вірогідніше, що поставлене завдання буде вирішено, якщо таке розв'язання існує в принципі (що буває далеко не завжди).
Символьні операції можна виконувати двома способами: безпосередньо у командному режимі (використовуючи операції меню Символи); за допомогою операторів символьного перетворення (використовуючи палітру інструментів Символи 
).
Розглянемо перший спосіб. Виділення виразів для символьних обчислень. Щоб символьні операції виконувалися, процесору необхідно вказати, над яким виразом ці операції повинні проводитися, тобто треба виділити вираз.
Символьні операції розбиті на п'ять характерних розділів. Першими йдуть операції, що найбільш часто використовуються. Вони можуть виконуватися з виразами, що містять комплексні числа або з виразами, що мають рішення в комплексному вигляді.
|
|
|
Операції звиділеними виразамиЯкщо в документі є виділений вираз, то з ним можна виконувати різні операції, представлені нижче:
Розрахунки — перетворити вираз з вибором виду перетворень підменю;
Символічні [Shift] F9 – виконати символьне перетворення виділеного виразу;
З плаваючою комою – обчислити виділений вираз в дійсних числах;
Комплексні – виконати обчислення в комплексному вигляді;
Спростити — спростити виділений вираз з виконанням таких операцій, як скорочення подібних доданків, приведення до спільного знаменника, використання основної тригонометричної тотожності і т д.;
Розширити — розкрити вираз [наприклад, для (Х + Y)·(Х - Y) отримуємо X 2- Y 2 ];
Чинник — розкласти число або вираз на множники [наприклад, X 2- Y 2 дасть (Х + Y) (Х - Y) ];
Подібні — зібрати доданки, подібні до виділеного виразу, який може бути окремою змінною або функцією зі своїм аргументом (результатом буде вираз, поліноміальний щодо вибраного виразу);
Коефіцієнти полінома — за заданою змінною знайти коефіцієнти полінома, що апроксимує вираз, в якому ця змінна використана.
Операції із виділеними змінними Для деяких операцій треба знати, щодо якої змінної вони виконуються. В цьому випадку необхідно виділити змінну, встановивши на ній маркер введення. Після цього стають доступними такі операції підменю Змінні:
Обчислити — знайти значення виділеної змінної, при яких вираз, що містить її, стає рівним нулю;
Заміна — замінити вказану змінну вмістом буфера обміну;
|
|
|
Диференціали — диференціювати вираз, що містить виділену змінну, по цій змінній (решта змінних розглядаються як константи);
Інтеграція — інтегрувати весь вираз, що містить змінну, по цій змінній;
Розкласти на складові... — знайти декілька членів розкладання виразу в ряд Тейлора щодо виділеної змінної;
Перетворення в Часткові Долі — розкласти на елементарні дроби вираз, який розглядається як раціональний дріб щодо виділеної змінної.
Операція Розрахунки одна з наймогутніших. Вона дозволяє в символьному вигляді обчислювати суми (і добутки) рядів, похідні і невизначені інтеграли, виконувати символьні і чисельні операції з матрицями. Ця операція містить підменю. Команда Символічні тут найбільш важлива. Призначення інших команд очевидне: вони потрібні, якщо результат потрібно отримати у формі комплексного або дійсного числа. Наприклад, якщо Ви хочете замість числа p отримати 3.141..., використовуйте команду “ З плаваючою комою...”
Деякі рекомендації щодо виконання завдання:
Операції символьної математики можна виконати і через меню Symbolic. Попередньо встановіть в меню Symbolics → Evaluation → Style опцію Horizontally для того, щоб забезпечити вивід у тому ж рядку.
Виконати обчислення похідної для заданої функції через меню символьних операцій Symbolic. Для цього ввести в робочий документ вираз для функції, виділити аргумент і виконати команду Differentiate.
Чисельне інтегрування зводиться до заміни інтегралу сумою елементарних площ, на які розбивають площу між графіком інтегрованої функції та віссю абсцис. Для цього спочатку треба задати підінтегральну функцію таблично: 
Розв’язок диференціальних рівнянь. У MathCad поки що немає засобів, які дозволяють одержувати аналітичні розв’язки диференціальних рівнянь, але можна легко знайти чисельний розв’язок рівняння з заданими початковими умовами (тобто задачі Коші або крайової задачі). При цьому знайдений розв’язок не можна буде побачити у вигляді функції, але можна знайти значення цієї функції у будь-якій точці, побудувати її графік і взагалі при подальших розрахунках посилатись на неї, як на відому функцію.
Функцію, яка входить в диференціальне рівняння треба писати разом з аргументом, тобто y (x), а не просто y, а функцію в лівій частині Odesolve — без аргументу. Перший аргумент функції Odesolve — це вільна змінна рівняння, а другий аргумент — це другий кінець відрізка, на якому шукається розв’язок рівняння (перший кінець визначає початкова умова). Наприклад:
y´´´– 3 y´´+ 7 y´– 5 y= 40sin(x), y (0) = 0, y´ (0) = 6, y´´ (0) = 4
Чисельний розв’язок за допомогою функції Odesolve матиме вигляд:
Given
y (0) = 0
y´ (0) = 6
y´´ (0) = 4
F:=odesolve (x, 10)
Знайдемо аналітичний розв'язок рівняння. Запишемо характеристичний поліном: t 3 – 3 t 2 + 7 t– 5. Найпростіший шлях знайти корені цього полінома — це навести маркер на будь-яку з літер t і в меню вибрати команду Symbolics-Variable-Solve, тоді з'явиться вектор, компоненти якого будуть коренями полінома: 
Отже, маємо один дійсний і два комплексних корені і загальний розв'язок однорідного рівняння запишемо у вигляді
c 1 ·ex+c 2 ·e 2 ·x · cos(2 ·x) +c 3 · e 2 ·x · sin(2 ·x).
Для числового розв’язку дифрівнянь можна застосовувати функцію в основі якої лежить метод Рунге-Кутта: rkfixed(y,x1,x2,npoints,D), де y – вектор початкових умов, x1,x2 – початкова та кінцева точки інтегрування, npoints – кількість вузлів на відрізку [x1,x2], D – ім’я вектора, що містить вираз для похідної.
Рис 4.1-Приклад розв’язку диференційного рівняння І порядку
