2018-01-08
403
Тема: Mathcad. Розв’язок рівнянь, систем рівнянь.
Мета: Навчитися розв’язувати рівняння та системи рівнянь.
Теоретичні відомості
Часто виникає задача пошуку числа x, для якого деяка функ-ція f(x)=0. Для багатовимірного випадку - вектор (x1, x2, … xn,), еле-менти якого задовольняють рівняння
.
Якщо функції fk лінійні відносно xk для k=1,2,…,n, тоді це система лінійних алгебраїчних рівнянь.
Mathcad шукає розв’язок наближеними чисельними методами. Для розв’язування необхідно вказувати початкове наближення розв’яз-ку. Точність результату залежить від системної змінної TOL.
1.1 Знаходження кореня рівняння
Корінь одного рівняння знаходиться функцією root. Вона може бути записана з двома або чотирма аргументами. У першому ви-падку першим аргументом вказується функція, а другим – змінна, якій заздалегідь присвоєно початкове значення (рис. 28.1). У другому випадку 1-й аргумент – функція рівняння, 2-й – змінна, значення якої змінюються для знаходження кореня, 3-й – початкове значення відрізку, у якому знаходиться корінь, 4-й – кінцеве значення цього ж відрізку.
|
|
|
Перед записом функції root необхідно знайти початкове наближення або відрізок ізоляції кореня. Це можна зробити графічним методом, побудувавши графік функції. Точки перетину прямої y=0 та функції і будуть початковими наближеннями.
Рисунок 28.1 - Застосування функції root
1.2 Розв’язування системи лінійних рівнянь
У системі n лінійних рівнянь k-те рівняння має вигляд ak1x1 + ak2x2 +…+ aknxn =bk, тобто система наступна
.
Матрична форма запису буде Ax=b. Розв’язок у матричному вигляді можна записати x=A-1b (рис. 28.2). Розв’язок можна знайти й іншими методами. Якщо задати матрицю коефіцієнтів A і вектор вільних членів b, функція lsolve(A,b) буде цим розв’язком.
Рисунок 28.2 - Розв’язок системи лінійних рівнянь
Іншою можливістю розв’язування системи лінійних рівнянь є використання обчислювального блоку (рис. 28.3). Використовуючи цей метод, необхідно задати початкові значення для змінних, у яких буде сформований розв’язок.
На рис. 28.3 це x1, x2, x3, яким задані значення вільних членів рівнянь. Далі службове слово Given, після якого записується рівняння. Знак рівності повинен бути логічною рівністю (жирним), тобто вибраний з панелі Boolean або комбінацією клавіш Ctrl+=. Після рівнянь задається функція присвоєння, лівим аргументом якої є вектор із змінних розв’язку, а правим - функція find або miner з аргументами – змінними розв’язку. Результат одержується виводом значень змінних розв’язку.
Рисунок 28.3 - Обчислювальний блок
1.3 Розв’язування системи трансцендентних рівнянь
|
|
|
Система трансцендентних рівнянь має вигляд
.
Результатом розв’язування цієї системи буде вектор із n елементів. Для його знаходження використовують обчислювальний блок. Використання функції продемонстровано на рис. 28.4.
Рисунок 28.4 - Розв’язування системи рівнянь
Хід роботи
2.1 Постановка задачі
1. Побудувати графіки функцій з метою визначення початкового значення кореня для кожної із функцій таблиці 28.1 згідно варіанту.
2. Розв’язати рівняння f(x)=0 з точністю е = 0.0001 з використаням функції root().
3. Виконати перевірку точності знаходження кореня.
4. Для системи нелінійних рівнянь (таблиця 28.1) побудувати графік залежності y(x) та x(y) з метоюзнаходження наближених значень коренів x та y. Розв’язати систему рівнянь за допомогою функцій find() та minerr().
5. Виконати перевірку точності знайдених коренів.
2.2 Послідовність дій
Виконати завдання, як показано в прикладі на рис. 28.5.
Таблиця 28.1 - Система нелінійних рівнянь
| № 1 | Sin(x)+2y=2; cos(y-1)+x = 0,7. | № 2 | tg(xy+0,1)=x2; x2 +2y2 =1. |
| № 3 | cosx+y=1,5; 2x-sin(y-0,5)=1. | № 4 | sin(x+y)-1.2x=0.2; x2 +y2=1. |
| № 5 | sin(x+0,5)-Y=1; cos(y-2)+x=0. | № 6 | tg(xy+0,3)=x2; 0,9x2 +2y2=1. |
| № 7 | cos(x+0,5)+y=0,8; siny-2x=1,6. | № 8 | sin(x+y)-1,3x=0; x2 +y2=1. |
| № 9 | sin(x-1)-y=1,3-y; x-sin(y+1)=0,8. | № 10 | tgxy=x2; 0,8x2 +2y2=1. |
| № 11 | 2y-cos(x+1)=0; x+siny=-0,4. | № 12 | sin(x+y)-1,5x=0,1; x2+y2=1. |
| № 13 | cos(x+0,5)-y=2; siny-2x=1. | № 14 | tgxy=x2; 0,7x2+2y2=1. |
| № 15 | sin(x+2)-y=1,5; x+cos(y-2)=0,5. | № 16 | sin(x+y)-1,2x=0,1; x2+y2=1. |
| № 17 | sin(x+1)-x=1,2; 2y+cosx=2. | № 18 | tg(xy+0,2)=x2 0,6x2 +2y2 =1. |
| № 19 | cos(y-1)+x=0,5; y-cosx=3,2 | № 20 | sin(x+y)=1,5x-0,1; x2+y2=1. |
Приклад виконання завдання:
Рисунок 28.5 – Приклад виконання завдання
3 Контрольні запитання
1. Назвіть способи знаходження початкових наближень.
2. Які функції для розв’язку одного рівняння є в Mathcad?
3. Які аргументи функції root не обов’язкові?
4. В яких випадках Mathcad не може знайти корінь рівняння?
5. Як змінна TOL впливає на розв’язок рівняння за допомогою функції root?
6. Назвіть функції розв’язку системи рівнянь у Mathcad та особливості їх застосування.
7. Опишіть структуру блоку розв’язування рівнянь.
8. Який знак рівності використовується в блоці розв'язування і як його вставити в документ з допомогою миші та клавіатури?
9. Які вирази не припустимі в середині блоку розв’язування рівнянь?
10. Опишіть способи використання функції Find().
11. Дайте порівняльну характеристику функціям Find() та Minerr().
12. Як розв’язувати систему рівнянь, які представлені у вигляді матриць?
