Краткие теоретические положения. Предположим, инвестор решает задачу об оптимальном вложении капитала в набор n видов ценных бумаг

Предположим, инвестор решает задачу об оптимальном вложении капитала в набор n видов ценных бумаг. Известен размер прибыли , получаемой, если вложить весь капитал в ценные бумаги вида , где . Структура портфеля ценных бумаг определяется набором долей , вложения капитала в бумаги вида , т.е. набором неотрицательных чисел, удовлетворяющих условию . Ожидаемая прибыль является случайной величиной вида и является выпуклой линейной комбинацией величин в соответствии с их долями. По условию, прибыль должно быть не меньше заданной нижней границы , т.е. . При этом должен быть минимизирован финансовый риск вложения капитала, определяемый величиной дисперсии размера ожидаемой прибыли. Так как случайная величина прибыли является линейной комбинацией заданных случайных величин с числовыми коэффициентами , то указанная дисперсия вычисляется по формуле

, (1)

где ковариация случайных величин вычисляется по формуле и для случая i=j совпадает с их дисперсией. Формула (1) может быть записана в матричном виде:

, (2)

где вектор долей, результат его транспонирования,

- матрица ковариаций случайных величин . На практике матрица может быть получена в результате эконометрических исследований инвестора или из справочных данных. Например, очень часто оказывается, что случайные величины некоррелированны (вложение капитала в ценные бумаги вида не влияет на вложение капитала в ценные бумаги типа ), т.е. =0, если В этом случае матрица является диагональной, причем по диагонали расположены дисперсии случайных величин . С учетом сформулированных условий, задача выбора оптимального портфеля ценных бумаг имеет вид:

(3)

Задача (3)- это задача квадратического программирования с двумя линейными ограничениями и условиями неотрицательности переменных . В общем случае каноническая задача квадратического программирования записывается в виде

(4)

Здесь - число, - вектор неизвестных, - вектор линейной формы квадратической функции, - линейная форма, входящая в состав квадратической функции, - квадратическая форма, входящая в состав квадратической функции, - матрица квадратичной формы, симметрическая квадратная матрица, - матрица коэффициентов линейных ограничений, - вектор правых частей линейных ограничений. С помощью введения новых переменных и изменения обозначений изучаемая задача (3) может быть приведена к каноническому виду (4). Пусть инвестор имеет возможность вложить капитал в ценные бумаги с отдачей . Тогда задача оптимизации портфеля ценных бумаг может быть записана в виде

(5)

Если инвестор имеет возможность вложить долю капитала в сферу с гарантированной (но относительно малой) отдачей , тогда задача оптимизации портфеля ценных бумаг может быть записана в виде

(6)

В качестве характеристики решения задачи об оптимизации портфеля инвестиций можно использовать доверительный интервал с уровнем доверия P для величины ожидаемой прибыли. Предполагая случайные величины нормально распределенными, получаем, что доверительный интервал , где

- значение интегральной функции Лапласа.

Примечание: В выводах по найденному оптимальному решению указать математическое ожидание прибыли, дисперсию прибыли, структуру портфеля инвестиций, доверительный интервал с уровнем доверия P=0.95 для ожидаемой прибыли.