Матричная запись систем линейных уравнений

 

А= [1.10]- основная матрица, её элементами являются коэффициенты при неизвестных;

В= [1.11]- матрица столбец свободных членов; Х= [1.12]- матрица столбец неизвестных; С= [1.13]- расширенная матрица.

Пример

, А= - основная матрица;

В= - матрица столбец свободных членов; Х= - матрица столбец неизвестных; С= - расширенная матрица.

Решение систем линейных уравнений матричным методом

 

, А= - основная матрица; В= - матрица столбец свободных членов; Х= - матрица столбец неизвестных.

Х= А^-1В [1.14]- формула для решения систем линейных уравнений матричным методом.

Пример

1) , А= , В= , Х= , А^-1= ;

применим формулу: Х= А^-1В= = , значит х=2, у=1.

2) , А= , В= , Х= , А^-1=- ;

применим формулу: Х= А^-1В=- = , значит х₁=2, х₂=0, х₃=-1.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Для решения система n линейных уравнений с n неизвестными применяются формулы: х₁= , х₂= , …, х_n= [1.15]; где х₁, х₂, …, х_n- неизвестные, Д- определитель основной матрицы; Д_Х1- определитель основной матрицы в котором первый столбец заменили столбцом свободных членов, Д_Х2- определитель основной матрицы в котором второй столбец заменили столбцом свободных членов, …., Д_Хn- определитель основной матрицы в котором n-ый столбец заменили столбцом свободных членов.

Частные случаи

1) Пусть Д≠0, Д_Х1≠0, Д_Х2≠0, …, Д_Хn≠0- тогда система имеет единственное решение.

2) Пусть Д=0, Д_Х1≠0, Д_Х2≠0, …, Д_Хn≠0- тогда система не имеет решений.

3) Пусть Д=0, Д_Х1=0, Д_Х2=0, …, Д_Хn=0- тогда система имеет бесконечное множество решений (см. метод Гаусса).