Свойства сложения матриц. Умножение матрицы на число

1 2 3 4 5 6

1) А+В=В+А

2) (А+В)+С=А+(В+С)

3) А+О=О+А=А

Умножение матрицы на число.

При умножение матрицы на число, каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пусть А= , λ≠0, λ=conct, то λА= [1.2].

Пример

А= , λ=3, λА=

Свойства умножения матриц на число.

1) λ,β≠0, λ,β=conct λ(А+В)= λА+ λВ

2) (λ+ β)А= λА+βА

3) λ(βА)=λβА

Умножение матриц.

1) Квадратные матрицы (одного размера)

Пусть А= , В= , АВ=С С= , где с₁₁=а₁₁в₁₁+а₁₂в₂₁; с₁₂=а₁₁в₁₂+а₁₂в₂₂; с₂₁=а₂₁в₁₁+а₂₂в₂₁; с₂₂=а₂₁в₁₂+а₂₂в₂₂ [1.3].

Пример

а) = б) = .

Прямоугольные матрицы.

Прямоугольные матрицы можно перемножать тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица, в которой столько строк, сколько строк в первой и столько столбцов, сколько столбцов во второй.

Пример

а) = , 3 столбца=3 строкам, (2 2)-новая матрица;

б) = , 2 столбца=2 строкам, (3 3)-новая матрица;

в) , 3 столбца≠1 строке- перемножать матрицы нельзя.

Свойства умножения матриц.

1) АВ≠ВА

2) (АВ)С=А(ВС)

3) АЕ=ЕА=А

Определители

Определители 2-го и 3-го порядка

Для квадратных матриц существует числовая характеристика, называемая определителем (обозначение: Д или det).

Вычисление определителей второго порядка (2 2)

=а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂ [1.4];

Пример

= 1∙4-3∙2=-2.

Вычисление определителей третьего порядка (3 3)

Перемножим элементы, расположенные на главной диагонали и прибавим к ним произведение элементов, расположенных в вершинах треугольников. Затем вычтем произведение элементов, расположенных на побочной диагонали и произведение элементов в вершинах треугольников.