Дифференциалы высших порядков. Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала

Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала. Тем самым получим так называемый дифференциал второго порядка данной функции :

Итак, если – некоторая дважды дифференцируемая функция, то ее дифференциал второго порядка (дэ два игрек) находится по формуле:

(7)

Отсюда, кстати, получаем:

, где (8)

Тем самым находит свое оправдание обозначение Лейбница (1) для производной второго порядка функции . Аналогично получает оправдание и обозначение (2) для производной третьего порядка, которая выражается через дифференциал (дэ три игрек) третьего порядка

, откуда , (9)

и т.д.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Дифференциал dy функции y (дифференциал первого порядка), как показано выше, имеет инвариантную (неизменную) форму независимо от того, является ли аргумент x функции y независимой переменной или, наоборот, сам является функцией от другой переменной. А вот для дифференциалов высших порядков (, , …) эта инвариантность места не имеет.

Действительно, пусть – сложная функция от t. Тогда, согласно инвариантности формы первого дифференциала dy, имеем:

А вот

(10)

Действительно,

Упражнения

1. Найти дифференциалы первого и второго порядков следующих функций:

а) ; б) ; в) , где u – дифференцируемая функция некоторой независимой переменной.

Ответ:

а) ; .

б) ; .

в) ; .

2. С помощью приближенной формулы найти абсолютную и относительную погрешности вычисления объема куба со стороной x, если при измерении x допущена ошибка .