Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Лекция 25. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Производные высших порядков. Формула Тейлора. Разложение функций по формуле Тейлора.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ролля: (теорема о корнях производной)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка по крайней мере одна точка x=с, a<c<b, в которой производной обращается в нуль, т.е. .

(см. рис.1)

Геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ох в точках с абсциссами a и b, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, , в которой касательная параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа: (теорема о конечных приложениях)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что . (см. рис.2)

Геометрическое истолкование: если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Теорема Коши: (теорема об отношении приращений двух функций)

Если f(x) и - две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемых внутри него, причем нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что .