2018-01-08
835
Если 
– уравнение движения точки по ее траектории, то, как мы знаем, ее производная 
(производная первого порядка) представляет собой скорость v (x) движения точки (мгновенную скорость движения). Но тогда производная второго порядка 
будет иметь смысл «скорость изменения скорости» движения точки. В физике такая величина называется ускорением. Поэтому
(3)
– ускорение движения точки в момент x. В этом и состоит физический смысл производной второго порядка.
Пример 4. Как известно, уравнение движения свободно падающего в безвоздушном пространстве тела, начавшего свое падение в момент 
, имеет вид: 
(s – путь, пройденный падающим телом за время t). Найдем скорость 
и ускорение 
падающего тела:
;
.
То есть ускорение a падающего тела неизменно и равно g – ускорению свободного падения (
м/сек2). А скорость v падающего тела возрастает пропорционально времени по формуле 
.
Упражнения
1. Найти угол наклона к оси ох касательной, проведенной к параболе 
в точке 
.
Ответ: 
.
2. Найти на параболе такую точку 
, чтобы касательная к параболе, проведенная в этой точке, составила с осью ох угол 
.
Ответ: 
.
3. В момент времени 
найти скорость v и ускорение a точки, движущейся по оси ох по закону 
.
Ответ: 
; 
.
4. Найти производную 
функций:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
5. Найти производную 
функций:
а) 
; б) 
; в) 
.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
.
Правило Лопиталя вычисления пределов.
Это правило состоит в следующем. Если требуется найти предел вида
, (4)
где x0 – число или символ 
, и этот предел приводит к неопределенности вида 
или 
, то
, (5)
Словесная формулировка правила Лопиталя (5) такова: предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует.
Доказательство. Исчерпывающее доказательство правила Лопиталя довольно громоздко. В связи с этим ограничимся рассмотрением случая, когда предел (4) приводит к неопределенности вида :
; 
; 
. (6)
При этом будем считать, что x 0 – некоторое конечное число.
Если функции 
и 
непрерывны в точке x 0, то в силу определения непрерывности функций верны следующие равенства 
и 
. Если же эти функции в точке x 0 разрывны, то их значения при x 0 не равны нулю (у них другие значения или они там вообще не определены). Тогда переопределим (или доопределим) их в точке x 0 так, чтобы стало и . После этого, в силу того же определения непрерывности функций, функции и станут непрерывными в точке x 0. Далее, будем считать, что обе эти функции будут непрерывно дифференцируемыми в окрестности точки х0, включая саму точку х0, причем 
. Тогда получим:
Примечание. Предел отношения производных, стоящий в правой части равенства (5), тоже может приводить к неопределенности вида или . Тогда правило Лопиталя можно применить и к нему. То есть применить это правило повторно.
Пример 5.
.
Пример 6.
Пример 7.
.
Пример 8.
.
Последние два примера показывают, что при 
растет несравненно медленнее, чем x, а 
– несравненно быстрее, чем 
при любом значении n.
Пример 9.
Пример 10. 
.
Для вычисления этого предела введем обозначение: 
. Тогда 
. Учитывая, что 
, находим:
Итак, 
. То есть при 
и 
, а значит, 
, ибо 
. Таким образом, 
, а значит, 
.
Упражнения
1. С помощью правила Лопиталя найти пределы:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
; г) 2; д) 
.
2. С помощью правила Лопиталя доказать второй замечательный предел:
.
3. С помощью правила Лопиталя доказать, что при 
и любом n
.
