Физический смысл производной второго порядка

Если – уравнение движения точки по ее траектории, то, как мы знаем, ее производная (производная первого порядка) представляет собой скорость v (x) движения точки (мгновенную скорость движения). Но тогда производная второго порядка будет иметь смысл «скорость изменения скорости» движения точки. В физике такая величина называется ускорением. Поэтому

(3)

– ускорение движения точки в момент x. В этом и состоит физический смысл производной второго порядка.

Пример 4. Как известно, уравнение движения свободно падающего в безвоздушном пространстве тела, начавшего свое падение в момент , имеет вид: (s – путь, пройденный падающим телом за время t). Найдем скорость и ускорение падающего тела:

;

.

То есть ускорение a падающего тела неизменно и равно g – ускорению свободного падения ( м/сек²). А скорость v падающего тела возрастает пропорционально времени по формуле .

 

Упражнения

 

1. Найти угол наклона к оси ох касательной, проведенной к параболе в точке .

Ответ: .

2. Найти на параболе такую точку , чтобы касательная к параболе, проведенная в этой точке, составила с осью ох угол .

Ответ: .

3. В момент времени найти скорость v и ускорение a точки, движущейся по оси ох по закону .

Ответ: ; .

4. Найти производную функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

5. Найти производную функций:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ; б) ; в) .

 

 

Правило Лопиталя вычисления пределов.

 

Это правило состоит в следующем. Если требуется найти предел вида

, (4)

где x₀ – число или символ , и этот предел приводит к неопределенности вида или , то

, (5)

Словесная формулировка правила Лопиталя (5) такова: предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует.

Доказательство. Исчерпывающее доказательство правила Лопиталя довольно громоздко. В связи с этим ограничимся рассмотрением случая, когда предел (4) приводит к неопределенности вида :

; ; . (6)

При этом будем считать, что x ₀ – некоторое конечное число.

Если функции и непрерывны в точке x ₀, то в силу определения непрерывности функций верны следующие равенства и . Если же эти функции в точке x ₀ разрывны, то их значения при x ₀ не равны нулю (у них другие значения или они там вообще не определены). Тогда переопределим (или доопределим) их в точке x ₀ так, чтобы стало и . После этого, в силу того же определения непрерывности функций, функции и станут непрерывными в точке x ₀. Далее, будем считать, что обе эти функции будут непрерывно дифференцируемыми в окрестности точки х₀, включая саму точку х₀, причем . Тогда получим:

 

Примечание. Предел отношения производных, стоящий в правой части равенства (5), тоже может приводить к неопределенности вида или . Тогда правило Лопиталя можно применить и к нему. То есть применить это правило повторно.

Пример 5.

.

Пример 6.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

Последние два примера показывают, что при растет несравненно медленнее, чем x, а – несравненно быстрее, чем при любом значении n.

Пример 9.

Пример 10. .

Для вычисления этого предела введем обозначение: . Тогда . Учитывая, что , находим:

Итак, . То есть при и , а значит, , ибо . Таким образом, , а значит, .

 

Упражнения

1. С помощью правила Лопиталя найти пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) 2; д) .

2. С помощью правила Лопиталя доказать второй замечательный предел:

.

3. С помощью правила Лопиталя доказать, что при и любом n

.