Общее представление об аксиоматическом методе построения теории. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел

При аксиоматическом построении какой-либо математической тео- рии соблюдаются определенные правила: некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и при-· нимаются без определения; каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных,· дается определение; А В 1 В 2 В В 3 В 4 Рис. 14. 21 формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории· принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства ос- новных понятий; каждое предложение теории, которое не содержится в списке акси-· ом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем. При аксиоматическом построении теории все утверждения выводят- ся из аксиом путем доказательства. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования: непротиворечивость (система аксиом называется непротиворечивой,· если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения); независимость (система аксиом называется независимой, если ника-· кая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом). В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно сле- довать за…», заданное на непустом множестве N. Суть этого отношения раскрывается в следующих аксиомах Пеано: АКСИОМА 1. Во множестве N существует элемент, непосредственно не следую- щий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его еди- ницей, и обозначать символом 1. АКСИОМА 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а /, непосредственно следующий за а. АКСИОМА 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемен- та, за которым непосредственно следует а. АКСИОМА 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если облада- ет свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а / содержится в М. Множество N, для элементов которого установлено отношение «не- посредственно следовать за…», удовлетворяющее аксиомам 1–4, называ- ется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральные числами. Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множе- ство, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следо- вать за…», удовлетворяющее аксиомам 1–4, то получим различные ин- терпретации (модели) данной системы аксиом. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, … Моделью аксиом Пеано может быть любое счетное множество. В определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя