Аксиоматическое определение сложения натуральных чисел. Законы сложения натуральных чисел

Определение. Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами: "1) (а Î N)а + 1 = а', 2) "(а, b Î N)а + b' =(а +b)'. Число а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b - слагаемыми. Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а иb суммаа +b -единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единст­венна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории на­туральных чисел доказывают следующие утверждение: Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно. Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем): сложение натуральных чисел существует; сложение натуральных чисел единственно. Законы сложения используются для упрощения вычислений. Для натуральных чисел есть два закона сложения: переместительный и сочетательный. Правило: От перемены мест слагаемых сумма не изменяется (переместительный закон сложения). Например: 37 + 42 = 42 + 37 = 79. В общем виде: а + Ь = Ь + а. Правило. Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых (сочетательный закон сложения). Например: (37 + 42)+ 13 = 37 + (42 + 13). В общем виде: (а + Ь) + с = а + (Ь + с). Часто в примерах для вычислений используются сразу оба закона сложения.Например: 1 300 + 400 + 700 + 600 = (1 300 + 700) + (400 + 600) = 2 000 + 1 000 = 3 000.

Аксиоматическое определение умножения натуральных чисел. Теорема о его существовании и единственности с доказательством. Таблица умножения.

Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определённая на мн.N нат.чисел, ставящая в соответствие каждой паре (а,b) число а *b, удовлетворяющее свойствам (аксиомам): 1. (∀a є N)a∙1 = a; 2. (∀ а,b є N) а∙b' = а∙b + а. Число a∙b называется произведением чисел а и b, а сами числа аиb– множителями. Теорема 1. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно. Пользуясь определение операции умножения, составим таблицу умножения однозначных нат.чисел. а)1×1=1; 2×1=2; 3×1=3; 4×1=4 и т.д. (на основании св-ва 1); б)1×2=1×1’=1×1+1= 1+1=2; 2×2=2×1’= 2×1+1= 2+1=3; 3×2=3×1’= 3×1+1= 3+1=4 и т.д.(на основании св-ва 2).Теорема 2. (∀a,b,с є N)(а+b)∙с = а∙с + b∙c. Доказательство. Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых верно равенство (а + b)с = а∙с + b∙c. Покажем, что для с=1 верно равенство (а + b)∙1 = а∙1 + b∙1 Действительно, (a + b)∙1 =a+b=a∙1 + b∙1. Пусть дистрибутивный закон выполняется для произвольно выбранного числа с,т.е.равенство (а+b)∙с = а∙с + b∙c истинно. На основании предположения докажем справедливость равенства: (а + b)∙с' = а∙с' + b∙c' для числа с'. Рассмотрим левую часть равенства и покажем, что она равна правой: (а + b)∙с' = (а + b)∙c + (а + b)=(а∙с+b∙с)+ (а+b)= (а∙с+а)+(b∙с+b)= а∙с’+b∙c’. Данное равенство (а + b)∙с = а∙с + b∙c истинно для любого нат.числа с, а так как числа а и b выбирались произвольно, то это равенство справедливо и для любых а и b. Анологично доказывается левый дистрибутивный закон умножения: (∀а,b,с є N)а ∙(b+с)= а∙b+а∙с. Теорема 3. (∀ а,b,с є N)(а∙b) ∙с= a∙(b ∙с).-ассоциативна. Теорема 4. (∀a,b є N) a∙b = b∙a.- коммуникативна. Операция умножения удовлетворяет двум законам: ab = bа (коммутативный закон умножения), а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения). Имеется также закон, связывающий сложение и умножение: а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон). Таблица умножения — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а ячейки таблицы содержат их произведение. Таблица применяется для обучения умножению.