Множество целых неотрицательных чисел. Требования относительно числа 0. Неопределенность деления на 0

Присоединим к множеству N натуральных чисел еще один элемент, который принято называть нулем и обозначается 0. Полученное множество принято называть множеством целых неотрицательных чисел и обозначается Zо. Таким образом Zо = N È {0}.Относительно числа 0 условимся, что оно меньше любого нату­рального числа, а арифметические операции в случае, когда одна из компонент равна нулю, определяются равенствами: (" а ÎN) а + 0 = 0 + а = a; (" а ÎN) а - 0 = а; (" а ÎN) а - 0 = 0 - а = 0; (" а ÎN) 0: а = 0. Вместе с тем, будем считать, что: 0 + 0 = 0, 0- 0 = 0, 0 – 0 = 0, а – а = 0. Деление на нуль невозможно. Доказательство. Пусть даны целое неотрицательное число а иb = 0. Рассмотрим случай, когда а ¹ 0. Предположим, что частное таких чисел существует, т.е.($ сÎ Nо)а = с × 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а ¹ 0иb = 0не существует. Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное чисела = 0иb = 0 существует, т.е.($ сÎ Nо)такое, что выполняется равенство0 = с × 0, истинное при любых значенияхс. Таким образом, частным чисел а = 0иb = 0может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.

Определение деления с остатком целого неотрицательного числа а на натуральное число b. Теорема о существовании и единственности деления с остатком.

Определение. Пусть а – целое неотрицательное число, а b – число натуральное. Разделить а на b с остатком –это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 £ r < b (q называют неполным частным, r – остатком).Например: а) при делении 26 на3получим неполное частное8и остаток2, 26 = 3× 8 + 2; б) при делении0на4, q = 0, r = 0, 0 = 4 × 0 + 0; в) при де­лении1на5получим неполное частное0и остаток1, 1 = 5× 0 +1. Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 13. Для любого целого неотрицательного числа а и нату­рального b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = bq + r, r£причем 0 < b. Эта пара чисел q и r- единственная для заданных а и b. Пример Числа а и b при делении на7дают соответственно остатки2и6. Какой остаток получится, если разделить на7произведениеаb?Решение.Число а при делении на7дает в остатке2и поэтому имеет вид:а = 7q+ 2, q Î Nо. Аналогично b = 7р + 6, р Î Nо. Рассмотрим произведение этих чисел:(7рq+ 2р + 6q+ 1) + 5= 7t+ 5.×(7р + 6) = 49рq+ 14р + 42q+ 12 = 7×аb= (7q+ 2)

T Итак, ab = 7t + 5,t Î N0Таким образом, установлено, что произведение чисел а и b при делении на7дает в остатке5.