Количественные натуральные числа. Счет

Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рас­смотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие. Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. NИспользуя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что а } а£ и х NÎ х|х {= Например,отрезок N7- это множество натуральных чисел, не пре­восходящих числа 7, т. е. N7= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда. 1) Любой отрезок Nа содержит единицуN. Это свойство вытекает из определения отрезка а. 2) Если число х содержится в отрезке Nа и х¹а, то и непосредственно следующее за ним число х +1 также содержится в Nа. NÎДействительно, если х а а, то х¹и х < Nа. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а=х+с. Если с=1, то а=х+1, а значит, х+1 содержится в а. Если же с > 1, то с - 1 - натуральное число и, следовательно, а=х+с=(х+1)+(с-1). Но тогда х+1 <Nа, т.е. х+1 - натуральное число, принадлежащее отрезку а. Теорема. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда. Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Теория чисел – основа вычислительных действий. Понятия о системе счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Совокупность приемов наименования и записи чисел называют счислением.Подсистемой счисления понимают изображение чисел в определенных символах, положение символов в числах и правила выполнения арифметических действий над этими числа­ми. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с помощью определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это код числа. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционными системами счисления являются такие сис­темы счисления, в которых каждый символ (цифра, буква, знак и т.д.) сохраняет свое значение независимо от места положения его в числе. Значение каждой цифры (символа) постоянно. Характер­ным представителем непозиционных систем является римская си­стема счисления со сложными способом записи чисел и громозд­кими правилами выполнения арифметических операций. Напри­мер, запись MCMXCVIII означает, что записано число 1998 (М – тысяча, С – сто, Х – десять, V – пять и т.д.) Позиционные системы счисления обладают большими пре­имуществами в наглядности представления чисел и в простоте арифметических операций. В позиционной системе счисления зна­чение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа, например числа 1998 и 9819. Позиционной является, например, десятичная система счисле­ния, используемая в повседневной жизни. Количество цифр и символов, которые используют для записи числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления (р). Например, в десятичной системе счисле­ния 10 цифр: (0,1,2,3, 4,5,6, 7,8,9); р = 10.