Составные и простые числа, свойства

Составное число — натуральное число, которое больше единицы и которое не является простым. Все составные числа – это произведение 2-х натуральных чисел, которые больше единицы. Например: 3 можно разделить, чтоб не было остатка на 1 и на 3;

Свойства составных чисел. Всякое составное число можно разложить до вида произведения простых множителей и только одним способом. Докажем, что в натуральном ряду могут быть последовательности составных чисел всякой длины. К примеру:

N=1000001!=1⋅2⋅3⋅4⋯⋅1000001 Значит, в миллионе последовательных чисел N+2,N+3,N+4…N+1000001 будут лишь составные числа: N+2 делится на 2, N+3делится на 3 и т. д. Простое число — это целое число (положительное) из разряда натуральных чисел, которое имеет только 2 разных натуральных делителя. Если сказать по-другому, число p тогда будет простым, когда оно больше единицы и может быть разделено лишь на единицу и на себя самого - p. Натуральные числа, большие единицы и числа, которые не являются простыми, называют составными числами. Т.о., все натуральные числа делятся на 3 класса: единица (имеет 1 делитель), простые числа (имеют 2 делителя) и составные числа (имеют больше 2-х делителей). Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b. Кольцо вычетов Zn будет называться полем только в случае, если n — простое. Характеристика всех полей — это нуль либо простое число. Когда p — простое, а a — натуральное, значит, ap-a можно поделить на p (малая теорема Ферма).

Когда G — конечная группа, у которой порядок |G| делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).

Признаки делимости на 2,3,4,5,9,10,25.

Признак делимости чисел на 2 На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.

на 3 На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например: 39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4); на 4 На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например: 124 (24: 4 = 6); на 5 На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720. на 9 На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например: 1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2). на 10 На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30; 980; 1 200; 1 570. ДЕЛИМОСТЬ на 2. Чтобы целое число a делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы в записи числа a последней цифрой была 0, 2, 4, 6 или 8. Доказательство. Число a всегда можно представить в виде суммы целого числа десятков и числа единиц, то есть, в виде a=a1·10+a0, где a1 – число, полученное из числа a, если в его записи убрать последнюю цифру, а a0 – число, соответствующее последней цифре в записи числа a (для пояснения приведем примеры таких представлений: 46=4·10+6, 24 328=2 432·10+8). В равенствеa=a1·10+a0 произведение a1·10 всегда делится на 2, что мы показали перед этой теоремой.

Все дальнейшее доказательство базируется на следующем свойстве делимости: если два из трех целых чисел в равенстве t=u+v делятся на некоторое целое число z, то и третье число тоже делится на z. Если a делится на 2, то из указанного свойства делимости и представленияa=a1·10+a0 следует, что a0 делится на 2, а это возможно лишь для a0 равного0, 2, 4, 6 или 8. Если же a не делится на 2, то опять же в силу указанного свойства делимости число a0 не может делиться на 2 (иначе бы a делилось на2), а это возможно только при a0 равном 1, 3, 5, 7 или 9. Этим доказана необходимость.Теперь обратно. Если число a оканчивается на одну из ифр 0, 2, 4, 6 или 8, то a0 делится на 2. Поэтому в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 можно сделать вывод о делимости числа a на 2. Если же a оканчивается на одну из цифр 1, 3, 5, 7 или 9, то a0 не делится на 2, поэтому a тоже не делится на 2. В противном случае в силу указанного свойства делимости и представления a=a1·10+a0 число a0 делилось бы на 2, что невозможно. Этим доказана достаточность.