Наименьшее общее кратное, его свойства и способы нахождения

Наименьшим общим кратным (сокращённо НОК) нескольких чисел называется самое маленькое число, которое делится нацело на каждое из данных чисел. Например, для трёх чисел: 3, 5 и 12 наименьшим общим кратным является число 60, так как никакое другое число меньше 60 не делится нацело на 3, на 5 и на 12. Обычно наименьшее общее кратное записывают так: НОК (a, b,...) =x.

Согласно этому, запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 5 и 12: НОК (3, 5, 12) = 60. Свойства НОК: 1.НОК чисел а и в не меньше наибольшего из этих чисел. Док-во: пусть а в и К(а,в)=м. Тогда м а и м в, значит, м а и м в. Неравенство м а доказывает утверждение теоремы. 2.Если а делится на в, то К(а,в)=а. Док-во: т.к.а в и а а, то К(а,в)=а. 3.Каждое общее кратное чисел а и в делится на их наименьшее общее кратное. Док-во: пусть М- произвольное общее кратное чисел а и в, и м- НОК этих чисел. Т.к.М м, то применим к ним теорему о делении с остатком. Получим: М=мq+r, где 0 r м. Поскольку М а и м а, то по свойству транзитивности отношения делимости r а. Аналогично док-ся, что r в. Значит,r- общее кратное чисел а и в. Если r- нат.число, то r м противоречит тому, что м-НОК. Поэтому r=0 и М=мq, следовательно, М м. 4.Каждое число, которое делится на К(а,в) яв-ся общим кратным чисел а и в. 5.Если с произвольное число, то К(ас,вс)= с К(а,в). П: найдём рациональным приёмом К(620,360). Т.к. 620=20 31, 360=20∙18, то К(620, 360)= 20∙К(31,18). Т.к.числа 31 и 18 взаимно простые, то К(31,18)= 31∙18=558. Тогда К(620, 360)= 20∙558=11160.

Алгоритм нахождения НОК: 1.Записать каждое из данных чисел в каноническом виде. 2.Выписать все простые множители, которые входят хотя бы в одно из канонических разложений, с наибольшим показателем степени. 3.Найти произведение полученных степеней простых чисел. Пример: найдём НОК чисел 525 и 630. Т.к. 525=3∙52∙7, 630=2∙32∙5∙7, тогда К(525,630)= 2∙32∙52∙7=3150.