Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов

 

1) Неопределенность раскрывается делением числителя и знаменателя на х в наивысшей степени.

 

Пример:

5.13. Вычислить предел:

= = = .

 

Упражнения:

 

5.14. Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Заметим, что если m и n – наивысшие показатели степеней числителя и знаменателя, то:

а) при m=n пределы равны отношению коэффициентов при старших степенях;

б) при m<n предел равен 0;

в) при m >n предел равен .

 

2) Неопределенность раскрывается делением числителя и знаменателя на множители, обращающие их в 0.

 

Пример:

5.15 .

 

Упражнение:

5.15 Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

3) Неопределенность раскрывается умножением и делением на выражение, сопряженное данному.

Пример:

15.16. .

 

Упражнение:

5.17. Вычислить пределы:

 

а) ; б) .

 

Первый замечательный предел

 

, (5.3)

раскрывает неопределенность .

Упражнение:

5.17. Вычислить пределы.

а) б) в) г)

 

д) е) ж) з) .

Пример:

5.18. .

 

Упражнение:

5.19. а) б) в) .

 

Пример:

5.20. .

Преобразуем разность в произведение:

Тогда предел принимает вид:

 

, т.к. , (первый замечательный предел.)

Упражнение:

 

5.21 а) б) в) г) .

 

Второй замечательный предел

 

, (5.4)

раскрывает неопределенность ().

 

 

Вычислить пределы

Упражнение.

5.22. а) б) в)

г) д) е) .

 

Пример.

5.23. = (выделяем в числителе знаменатель) = (делим почленно числитель на знаменатель) = .

Вычислим пределы:

Тогда искомый предел принимает значение:

.

Упражнение:

5.24. а) б)

в) г)

 

Пример.

5.25 а)

б) ;

в)

г)

д)

 

Упражнение:

6. 26 а) б)

 

Непрерывность функции