2018-01-08
451
В общем виде бесконечная числовая последовательность записывается следующим образом:
f(1); f(2); …;f(n); …
Если обозначить 
= f(n), то получим последовательность
; 
; ….; ; … или (), { }.
Здесь - n – й или общий член последовательности, n - номер соответствующего члена последовательности.
Примеры:
5.9. Рассмотрим последовательность (), общий член которой задается формулой:
= 
, n 
N.
По этой формуле можно вычислить любой член последовательности:
= 1; = 
; 
= 
; …
следовательно, последовательность имеет вид:
1; ; ; …; 
; …
Предел последовательности
Пример:
5.10Рассмотрим последовательность с общим членом = 
.
Значения членов последовательности по мере возрастания номера n располагаются как угодно близко к 3.
Каким должно быть n, чтобы модуль разности - 3 был меньше 0,001, 
(½ - 3½< 0,001)?
Выполним преобразования:
½ - 3½ = ½ ½= ½- ½= .
Тогда неравенство
½ -3½< 0,001 Û < 0,001
справедливо для любого n > N = 1000.
Таким образом, для любого положительного числа 0,001 нашли такое натуральное число N=1000, что для любого n > N выполняется неравенство
½ - 3½< 0,001.
В этом случае число 3 называется пределом последовательности (). Записывают так:
=3, или ® 3 при n ® ¥.
Сформулируем определение предела последовательности.
Число А называется пределом последовательности (), если для любого положительного числа e найдется такое натуральное число
N = N(e) (N зависит от e), что для любого n > N выполняется неравенство:
½ - А½< e.
Записывают так:
= А, или ® А при n ® ¥.
Говорят:” Последовательность () имеет пределом число А при n стремящемся к бесконечности” или “ последовательность () сходится к числу А “.
Проще: предел последовательности!{ а n} есть число А, к которому можно приблизиться с любой степенью точности при стремлении номера члена последовательности к бесконечности.
Предел функции
По аналогии с определением предела последовательности при n ® ¥ введем сначала определение предела функции при х® ¥.
Число b называется пределом функции f(x) при х® ¥, если для любого положительного числа e найдется такое число М = М(e), что для всех ½х½> М, выполняется неравенство:
½f (x)- b½< e.
Другими словами: число b называется пределом функции при х® ¥, если при всех х, удаляющихся в бесконечность значения функции неограниченно приближаются к b.
Записывают так: 
f(х) = b.
Число b называется пределом функции f(х) в точке а (или при х стремящемся к а), если для любого e > 0 существует d = d(e), зависящее от e, такое, что для всех х ¹ 
, удовлетворяющих неравенству ½х – а½<d, справедливо неравенство ½ f(х) - b½< e.
Другими словами: число b называется пределом функции при х® а, если при всех х, неограниченно приближающихся к а, значения функции неограниченно приближаются к b.
Записывают так: 
f(х) = b.
Проще: передел функции y = f(x) при стремлении х к а есть число b, к которому приближается значение у с любой наперед заданной точностью.
Геометрическая иллюстрация.
 |
y = f (х) ½ x-a ½<d,
ß
a-d < x < a+d,
½ f(х) - b½< e,
ß
b-e < f(х) < b+e.
Рис. 5.1. Предел функции.
Можно доказать:
1) Если функция имеет конечный предел, то этот предел единственный.
2) 
= С, С = const;
3) х = а.
Часто рассматриваются пределы функции, если х® а и при этом х < а:
f(x) – предел слева;
или х® а и х > а:
f(x) – предел справа.
Изучаются и другие пределы функций, например:
f(х) = + 
; f(х) = - ;
f(x) = + ; 
f(x) = - ;
f(х) = + и т. п.
Теоремы о пределах.
Пусть существуют и конечны f(х) = А; g(x) = В, тогда
1) (f(x) 
g(x)) = f(x) g(x) = А В;
предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов:
2) предел произведения функций равен произведению их пределов:
(f(x) g(x)) = ( f(x))( g(x)) = А×В;
следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела:
(С f(x)) = С× f(x), С = const,
3) предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если предел делителя отличен от нуля:
; В ¹ 0.
Пример:
5.11. Найти 
.
Решение. Применяя теоремы о пределах, получим:
= = 
=
= 9×1×1-6×1+8=11
Упражнение:
5.12. Найти: 
.
