Бесконечные числовые последовательности

Функция и её предел

Функция

Функцией называется отображение множества Х на множество У, при котором каждому элементу х Х соответствует единственный элемент у У.

Это определение можно записать так:

х Х, ! у У: х у, или у = f(х) (5.1)

Мы будем рассматривать числовые функции, заданные аналитически, т. е. формулой (5.1.). Множество Х называется областью определения функции и обозначается Д(f). Множество тех значений у У, для которых у=f(х), называется областью значений функции и обозначается Е(f).

Графиком функции у = f(х) называется множество точек плоскости (хоу) с координатами (х; f(х)).

Функция у = f(х) называется четной, если 1) область определения ее симметрична относительно начала координат и 2) f(- х) = f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если 1) область определения ее симметрична относительно начала координат и 2) f(-х) = - f(х).

Графики четных функций симметричны относительно оси (оу); графики нечетных функций симметричны относительно начала координат.

Функция у = f(х) называется периодической, если существует положительное число Т такое, что 1) при всех х Д(f) числа х + Т и х – Т также принадлежат области определения и 2) f(х + Т) = f(х).

Наименьшее положительное число Т, обладающее указанными свойствами, называется основным периодом функции.

Функция называется ограниченной на множестве Х, если существует число С>0 такое, что ½f(х)½ С при всех х Х. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х, если большему значению х Х соответствует большее (меньшее) значение у;

Х, если < и f() < f(), то f (возрастающая); если < и f()>f(), то f ¯ (убывающая).

Функции возрастающие или убывающие называются монотонными.

Рассмотрим функцию у = f(х), Д(f) = Х; Е(f) = У. Каждому элементу у У поставим в соответствие единственное значение х Х, такое, что f(х) = у. Получим функцию х = j(у), Д(j) = У; Е(j) = Х. Функция j называется обратной для f и обозначается j = и записывается традиционно:

у = (х) (5.2)

Всякая строго монотонная функция имеет обратную.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Определение. Пусть заданы две функции у = g(х) и z = j(у). Область определения функции у содержит область значений функции g. Функция z=j(g(х)) называется сложной функцией, составленной из функций g и j.

Примеры:

5.1 Функция = есть сложная функция, составленная из z = 3 lg у и у=1+ .