Дифференциал сложной функции равен производной этой функции по

промежуточному аргументу, умноженной на дифференциал

этого аргумента.

Доказательство. Пусть y=f(u) и u=j(x),тогда

dy=y¢_u×du

По правилу дифференцирования сложной функции

y¢=y¢_u×u¢_x и dy=y¢_u×u¢_x×dx,но

u¢_x×dx=du Þ

dy=y¢_u×du

Это свойство дифференциала называют инвариантностью, то есть неизменностью формы записи дифференциала для простой и сложной функций.

Благодаря этому свойству формулы дифференцирования основных функций оказываются одними и теми же как для простых, так и для сложных функций.

Сводка правил и формул нахождения дифференциалов.

 

Правила

1. dc=0

2. d(u+v)=du+dv

3. d(u×v)=du×dv

4. d(c×u)=c×du

5.

Формулы

1. d(a^u)=a^ulna×du; de^u=e^u×du

2.

3. d(u^m)=m×u^m-1du

4. d(sin u)=cos u×du; d(cos u)=-sin u×du;

5.

6.

7.

Для получения этих формул достаточно было умножить равенства в формулах дифференцирования на dx и заменить u¢dx и v¢dx на du и dv.

Из формулы для нахождения дифференциала следует, что

Поэтому этот символ используют наряду с y¢ и f¢(x).

Производные и дифференциалы высших порядков.

 

Пусть задана любая дифференцируемая f(x). y¢=f¢(x) есть также функция x. Поэтому можно ставить вопрос об отыскании производной и от этой функции.

Определение. Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка или второй производной и обозначают символом y¢¢=f¢¢(x).

Таким образом (y¢)¢=y¢¢=f¢¢(x).

В связи с этим y¢=f¢(x) в дальнейшем будем называть производной первого порядка или первой производной.

Вторая производная имеет простой механический смысл. Если задан закон прямолинейного движения материальной точки S=f(t) Þ v=S¢=f¢(t)

- есть мгновенная скорость движения.

Вторая же производная от пути по времени, как производная от скорости, есть скорость изменения скорости движения, то есть ускорение

w =v¢=S¢¢=f¢¢(t).

Аналогично можно ввести производные более высоких порядков: y¢¢¢ - производная 3-го порядка, y^(IV) - 4-го и так далее.

Вообще говоря производной порядка n+1 от f(x) называют производную от производной n -го порядка для f(x):

(y⁽ⁿ⁾)¢=y⁽ⁿ⁺¹⁾= f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

В силу принятого определения производная m порядка от производной n порядка равна производной n+m порядка (при условии существования всех производных):

(y⁽ⁿ⁾) ^(m)=y^(n+m)= f^(n+m)(x)

Примеры.

1. y=e^k×x Þ y⁽ⁿ⁾=kⁿe^k×x

2. y=sin x, y¢=cos x=sin(x+p/2) Þ y¢¢=(sin(x+p/2))¢= sin(x+p/2+p/2) … y⁽ⁿ⁾=sin(x+p×n/2)

Аналогично, (cos x)⁽ⁿ⁾=cos(x+p×n/2)

3.

4. y=xⁿ, nÎN, Þ y⁽ⁿ⁾=n!

5.

В При дифференцировании неявно заданных функций F(x,y) мы установили, что

y¢ =Ф(x,y)

Так как y¢¢=(y¢)¢ Þ y¢¢= Ф¢(x,y(x)),то есть нужно взять производную от Ф по x, считая y=y(x). В результате мы получим

y¢¢=y(x,y,y¢)=y(x,y,Ф(x,y))=y(x,y),

то есть опять y¢¢ будет функцией только x и y. Этот процесс, при условии существования всех производных, может быть продолжен.

 

С Пусть теперь функция задана параметрически:

y=y(y), x=j(t) Þ

Так как y¢¢_xx=(y¢_x)¢_x, то вопрос сводится к отысканию производной по x от y¢_x=F(t), когда x=j(t), то есть опять от функции, заданной параметрически: Применяя правило вторично, получим

Для отыскания производных 3-го и более высших порядков поступают аналогично:

Пример. x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), y¢¢=?, y¢¢¢=?.

Дифференциалы высших порядков.

 

Дифференциалы высших порядков определяются аналогично производным высших порядков.

Определение. Дифференциалом 2-го порядка (d²y) от f(x) называют дифференциал от ее дифференциала:

d²y=d(dy)

Найдем его выражение через производную. Так как dy=y¢dx Þ (dx не зависит от x и следовательно dx есть постоянная относительно x и (dx)¢=0)

d²y=d(dy)=d(y¢dx)=(y¢dx)¢×dx=(y¢)¢×dx×dx=y¢¢ dx².

Таким образом второй дифференциал от f(x) есть произведение f¢¢(x) на квадрат dx - dx²

d²y=y¢¢×dx²

Аналогично вводятся дифференциалы высших порядков.

d⁽ⁿ⁺¹⁾y=d(dⁿy)

Методом индукции можно доказать, что

d⁽ⁿ⁾y= y⁽ⁿ⁾(dxⁿ) Þ

Последнее обозначение эквивалентно y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(x) и тому подобному.

Дифференциалы, начиная со 2-го порядка, не обладают свойством инвариантности. Пусть y=f(u) и u=j(x) Þ dy=y¢_udu

Так как u=j(x) Þ du=u¢_xdx есть также функция x Þ

d²y=d(y¢_u)=d(y¢_u)du+y¢_ud(du)=y¢¢_udu²+y¢_ud²u

Таким образом в выражении d²y появляется дополнительное слагаемое.

 

Формула Лейбница

 

В заключение этого раздела приведем формулу Лейбница, которая позволяет вычислить производную или дифференциал n -го порядка от произведения 2-х функций.

y=u×v

y¢=u¢×v+v¢×u

y¢¢=u¢¢×v+2×u¢v¢+v¢¢×u

y¢¢¢=u¢¢¢×v+3×u¢¢v¢+3×u¢v¢¢+v¢¢¢×u

…..

Отсюда вытекает общее формальное правило:

Чтобы найти производную (дифференциал) от (u×v)⁽ⁿ⁾ надо по формуле бинома Ньютона разложить n -ю степень суммы (u+v)ⁿ и затем заменить показатели степеней u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u⁰ и v⁰),входящие в крайние члены разложения заменить самими функциями u и v (то есть, «производными нулевого порядка»).

Для дифференциала n -го порядка справедлива формула

dⁿ(u×v)=(u×v)⁽ⁿ⁾×dxⁿ

dy=v×du+u×dv

d²y=v×d²u+2×du×dv+u×d²v

d³y=v×d³u+3×d²u×dv+3×du×d²v +u×d³v и т.п.

Применение производных к исследованию свойств функций.

 

Возрастание и убывание функций.

Экстремум.

Определение1. Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых x₁, x₂ Î (a,b) большему из них соответствует и большее значение функции.

x₁ Î (a,b), x₂ Î (a,b), x₂>x₁ Þ f(x₂)>f(x₁)

Определение 2. Функция y=f(x) называется убывающей на (a,b), если для любых x₁, x₂ Î (a,b) большему x соответствует меньшее значение f(x).

x₁ Î (a,b), x₂ Î (a,b), x₂>x₁ Þ f(x₂)<f(x₁)

Из этих определений следует, что для возрастающих функции sign(Dy)=sign(Dx), в силу чего их отношение положительно:

Для убывающей функции sign(Dy)=-sign(Dx) Þ

Если функция на переходит от возрастания к убыванию, или наоборот, ее называют колеблющейся на (a,b).

Значения x, при которых f(x) достигает своих наибольших или наименьших значений по сравнению с соседними, называют точками максимума и минимума.

Определение 3. x=x₀ -точка максимума f(x), а f(x₀) - максимум функции, если существует некоторая окрестность x₀ (т.е. x₀-d, x₀+d) такая, что значение функции в любойточке x₁ Î(x₀-d, x₀+d) будет меньше, чем ее значение в x₀, то есть меньше, чем максимум f(x₀)

f(x₀+Dx)<f(x₀) прилюбом |Dx|<d

Аналогично определяются точки максимума и минимума функции

f(x₀+Dx)>f(x₀) прилюбом |Dx|<d

Дать графические примеры.

Точки минимума и максимума объединяются под общим названием – точки экстремума (экстремальные точки), а минимум и максимум функции – экстремумы функции.

Экстремумы функции, определенные выше, часто называют строгими экстремумами, в отличие нестрогих

f(x₀+Dx)£f(x₀) и f(x₀+Dx)³f(x₀)

Из определения вытекает, что вне d-окрестности x₀ значения f(x) могут быть любыми, по отношению к f(x₀).

Например за пределами (x₀-d, x₀+d), f(x+Dx)>f(x₀) – где x₀ - точка максимума, и аналогично f(x+Dx)<f(x₀), если x₀ - точка минимума f(x).

Таким образом понятия максимальной и минимальной функции носят локальный (местный) характер. Далее мы установим признаки возрастания и убывания функций и признаки экстремума функций, основанные на понятии производной.

 

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

 

Теорема Ферма. Если f(x) непрерывна на (a,b) и в x₀Î(a,b) достигает максимума (минимума) и дифференцируема в x₀, то ее производная в этой точке равна 0:

f¢(x₀)=0

Доказательство. Допустим, что f(x₀) –максимум (минимум) функции. При достаточно малых D x, точка x₀+Dx независимо от знака D x.

a) Пусть D x>0 Þ , переходя к пределу при D x®+0 получим: , как предел неположительной величины.

 

b) D x<0 Þ

Так как для дифференцируемой в x₀ функции производная слева равна производной справа Þ f¢(x₀)=0, теорема доказана.

 

Аналогично проводится доказательство и для x₀ - точки минимума, и для случая строгих неравенств.

Геометрический смысл очевиден: касательная к графику f(x) в точке экстремума, в которой f(x) дифференцируема, параллельна оси OX.

рисунок

 

Теорема Ролля. Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), а на концах [a,b] принимает равные значения: f(a)=f(b)=c,то в промежутке (a,b) найдется точка x₀ (по крайней мере одна), в которой f¢(x₀)=0.

Доказательство. Рассмотрим случай f(x)ºc, xÎ[a,b], удовлетворяющий условиям теоремы: Þ f¢(x)=(c)¢=0 длялюбых x₀.

Если же f(x)¹c будучи непрерывной на [a,b], она достигает своих наибольших и наименьших значений – M и m (см. свойства непрерывной функции). При этом возможны 3 случая:

a) f(a)=f(b)=m, Þ f(x) достигнет наибольшего M в x₀Î(a,b), то есть внутренней точке [a,b]. В точке x₀ функция дифференцируема и тогда по теореме Ферма Þ f¢(x₀)=0.

b) f(a)=f(b)=M, Þ f(x) достигнет минимума в некоторой x₀Î(a,b), и снова, по теореме Ферма Þ f¢(x₀)=0.

c) Пусть теперь f(x) такова, что f (x₀)=M и Þ f (x₀ ¢ )=m, x₀,x₀ ¢ Î(a,b), Þ f¢(x₀)=0 и f¢(x₀ ¢ )=0 по теореме Ферма.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы Ролля на графике f(x) найдется хотя бы одна точка x₀, касательная в которой будет параллельна оси ОХ.

Нарушение хотя бы одного из условий ведет к нарушению вывода из теоремы.

Рисунок Рисунок Рисунок

В частном случае, когда f(a)=f(b)=0 теорема Ролля имеет очень полезное для приложений толкование: Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной, то есть эта точка может оказаться max или min.

 

Теорема Коши. Если f(x) и j (x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), при чем j¢ (x)¹0 на (a,b), то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a,b] равно отношению их производных в некоторой точке, которая может быть не единственной:

j (b)¹j(a) т.к. j¢(x) ¹0 на (a,b) Û т.Ролля.

Доказательство. Введем вспомогательную F(x)=f(x)-l×j(x),где l =const. Выберем теперь l такое, чтобы F(x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля. Достаточно потребовать, чтобы F(a)=F(b). Другими словами:

F(a) -l×j (a)=f(b)- l×j (b) Þ

-конечное значение, т.к. j(b)¹j(a)

Тогда хотя бы в одной точке cÎ(a,b) F¢(c)=0 Þ Þ

Теорема доказана.

 

Теорема Лагранжа (частный случай теоремы Коши). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b). Тогда конечное приращение f(x) на [a,b] равно произведению длины отрезка [a,b] на значение производной в некоторой внутренней точке (a,b):

f(a)-f(b)=f¢(c)×(b-a)

 

Полагая в теореме Коши j (x)=x получим: j (b)-j(a)=b-a, j¢(x)º1 Þ j¢(c)=1

Поэтому

(*) т.е.

f(b)-f(a)=f¢(c)×(b-a)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа определяется формулой ( * ). В ней левая часть есть угловой коэффициент хорды MN, соединяющей концы графической функции

РИСУНОК

 

Правая часть формулы – угловой коэффициент в точке P с абсциссой x=cÎ(a,b)

f¢(c)=tg a Þ tg b=tg a, то есть хорда и касательная параллельны.

Таким образом, на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Тот же геометрический смысл можно придать и теореме Коши, если рассматривать y=f(t) и x=j(t) как параметрические уравнения кривой в плоскости XOY, а x считать параметром этой кривой.

 

 

Раскрытие неопределенностей.

Правило Бернулли-Лопиталя.

 

Раскрытием неопределенности в математическом анализе называют нахождение предела , когда f(x) непрерывна вблизи a, но не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в функцию x=a приводит к выражению неопределенного вида

, , 0×¥, ¥-¥, 1^¥,0^¥,¥⁰.

Опираясь на теорему Коши, выведем правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей, используя производные.

Основными видами неопределенностей являются две:

и ,

раскрытие которых сводится к нахождению предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин. Остальные виды сводятся к двум последним.

1. Рассмотрим неопределенность (при x®a), требуется найти ,когда и . Примем f(a)=j(a)=0. Тогда f(x) и j (x) будут непрерывными в x=a. Предположим также, что f(x) иj (x) дифференцируемы вблизи x=a причем j¢ (a)¹0. В этом случае:

, (L - конечно или нет)

Доказательство. Применим к f(x) и j(x) теорему Коши на отрезке [x₀,a),где x₀Î окрестности a, в которой f и j непрерывны и дифференцируемы (может за исключением a). Тогда

В силу того, что f(a)=j (a)=0 Þ

, где cÎ(x₀,a)

Если теперь x₀®a, Þ и c®a, поэтому

Теперь, если положить x₀=x, c=x Þ

то есть в данном случае правило Бернулли-Лопиталя выполняется.

Примеры:

2. Неопределенность (x®¥). Докажем справедливость правила Бернулли-Лопиталя и в этом случае.

Итак требуется найти , если и .

Предположим, что для достаточно больших x (|x|>M) обе функции дифференцируемы, j¢ (x)¹0 и что существует(конечный или бесконечный) .

Докажем, что

Доказательство. Перейдем к новому аргументу . Тогда, x®¥ Þ u®0. Нетрудно видеть, что к отношению правило Бернулли-Лопиталя применимо: в окрестности u=0 f и j дифференцируемы, а и существует

Тогда, принимая правило Бернулли-Лопиталя, получим

Возвращаясь к x, получим:

Правило остается в силе при x®+¥ или x®-¥.

Пример. .

3. Неопределенность (x®a). Пусть теперь нужно найти , если .

Как и в случае 1., пусть f и j дифференцируемы вблизи a, и j¢ (x)¹0.

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) , то

Доказательство. Пусть x₁ и x₂ Î окрестности x=a, и пусть x₁<x₂<a, если точки берутся слева от a, или x₁>x₂>a - если справа.Тогда на отрезке [x₁,x₂] или [x₂,x₁]) к отношению f(x) и j (x) применима теорема Коши:

cÎ[ x₁,x₂ ]

Далее пусть

Зададим теперь e >0 и найдем d ( e )>0 такое, что при |x-a|< d ( e ) Þ

(*)

Выберем теперь x так, чтобы |x₁-a|< d ( e ) и зафиксируем его. Тогда, согласно условию выбора x ₂ Þ |x₂-a|< d ( e ) и |c-a|< d ( e ), так как cÎ[ x₁,x₂ ]. Поэтому, в силу ( * ) будем иметь:

или

Заменяя в этом неравенстве отношение производных отношением конечных приращений функций, получим

Þ

(1)

Если теперь x₂®a, не изменяя x₁, то, так как ,

другими словами при заданном e, найдется d ₁( e ), что при |x₂-a|< d ₁( e ) Þ

или

(1)

Перемножая теперь почленно неравенства (1) и (2) (что возможно, так как все члены неравенства (2) положительны), получим

и

Другими словами разность между и постоянной A будет бесконечно малой величиной.

Следовательно и следовательно

(3)

Пусть теперь .Тогда f¢(x)¹0 в некоторой малой окрестности a (иначе не было бы бесконечно большой величиной). С другой стороны , а поэтому к обратному отношению применимо предыдущее правило:

Из последней формулы вытекает справедливость и формулы (3).

Пример.

4. Неопределенность (x®¥). Правило применимо, если f(x) и j(x) дифференцируемы при любом x, |x|<M, причем j¢ (x)¹0 и при условии, что существует (конечный или бесконечный) .

Для доказательства достаточно перейти к новому * и использовать правило для случая 3.

Пример. .

Правило Бернулли-Лопиталя иногда приходится применять несколько раз, если появляется неопределенность в отношении . Для этого необходимо соблюдение условий применимости теоремы Коши к производной

.

Примеры 1) 3 раза правило Бернулли-Лопиталя

2) . n раз правило Бернулли-Лопиталя

 

Примение правила Лопиталя к раскрытию неоределенности

0×¥, ¥-¥, 1^¥,0^¥,¥⁰ покажем на примерах. Идея- эти неопределенности сводятся в виду или , а в последних 3-х случаях с применением логарифмирования.

Пример 1.

Представим в виде: (x^k – бесконечно малая величина, Þ - бесконечно большая величина) Þ . x®0

Пример 2. Þ ¥-¥, но

, применяя правило Лопиталя, получим:

Пример 3.

Пример 4.

Правило Лопиталя не применимо, если не существует . Однако это еще не означает, что не существует . Просто в этом случае правило Лопиталя нельзя использовать.

Пример. , тогда как .

 

 

Признаки возрастания и убывания функций.

 

Определения возрастания и убывания функций было дано ранее.

Теорема 1) Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то f¢(x) неотрицательна на [a,b], то есть

f¢(x)³0, "xÎ[a,b], если f(x)­,

2) Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f¢(x)>0, "xÎ(a,b), Þ f(x) возрастает на [a,b].

Доказательство .

1-я часть. Пусть f(x)­ на [a,b]. Придадим x приращение D x и рассмотрим

т.к. f(x)­ Þ

f(x+Dx)>f(x), если Dx>0

f(x+Dx)<f(x), если Dx<0

Но в обоих случаях

и следовательно

, что и следовало доказать.

 

2-я часть. Пусть f¢(x)>0, " x(a,b). Рассмотрим x₁ и x₂, x₁>x₂, x₁,x₂Î[a,b]. По теореме Лагранжа f(x₁)-f(x₂)= (x₁ - x₂). По условию теоремы f¢(x)>0, x₁-x₂>0 и f(x₁)-f(x₂)>0 Þ f(x) возрастает.

Аналогично формулируется теорема для убывающей функции:

Теорема. Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], убывает на этом отрезке, то f¢(x)£0 на [a,b], то есть

f¢(x)£0, "xÎ[a,b], если

2) Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f¢(x)<0, "xÎ(a,b), Þ f(x) убывает на [a,b].

Геометрический смысл. Если f(x)­, касательная к кривой образует острый угол j с ОХ, или в некоторых точках угол j=0 Þ касательная параллельна оси ОХ, так как tgj³0. Если f(x)¯, угол j-тупой (или j=180^о в отдельных точках Þ параллельна оси ОХ), так как tg j= f ¢(x)£ 0.

Таким образом, теоремы позволяют судить о возрастании или убывании функций по знаку производных.

 

Пример. Определение области возрастание и убывания функции y=x⁴

y¢=4×x³, x>0 Þ y¢>0, x<0 Þ y¢<0

 

 

Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.

 

Экстремальные значения f(x) и расположение точек экстремума характеризуют, в некотором смысле, изменение функции в зависимости от изменения аргумента. Определения даны в п….

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума).

Если f(x) дифференцируема на (a,b) и при x=x₁ имеет max или min (x₁Î(a,b)), ее производная обращается в нуль в этой точке, то есть f¢(x₁)=0. Эта теорема более слабая, чем теорема Ферма, так как требует дифференцируемости функции на (a,b), тогда как теорема Ферма – дифференцируемости только в точке x₁.

Доказательство проводится аналогично: Пусть x₁ -точка максимума, …

Замечание. Если f(x) определена на [a,b], то она может достигать max или min только на (a,b). Так как ее поведение при x<a или x>b неизвестно.

Геометрический смысл: в точках min и max касательная парллельнаОХ.

Следствие. Если f(x) дифференцируема при любом x, то она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная обращается в нуль. Обратное же, вообще говоря, неверно. То есть max или min не обязательно достигаются в точках, в которых f¢(x)=0.

Например. y=x³, при x=0 имеет y¢=3x², но при x>0 Þ y>0, а при x<0, то есть y<0,т.е. y=x³ в x=0 не имеет ни минимума, ни максимума.

Рассмотрим теперь случай, когда f(x) в некоторых точках не имеет производной. На примерах покажем, что в этих точках может быть max, min, или не быть ни того, ни другого.

1). Пусть y=|x|. Эта функция не имеет производной в точке x=0, но данная функция имеет в этой точке min Þ y=0 при x=0,а для любого x¹0 Þ y>0.

2). * не имеет производной при x=0, так как

 

В x=0 функция имеет max: f(0)=1 и f(x)<1 при x¹0.

3). , при x=0 не имеет y¢ (), но в этой точке нет ни min, ни max, так как y(0)=0, x<0 Þ y<0 и x>0, y>0.

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в 2-х случаях: либо в точках, где производная существует и равна 0, либо в точках, где f¢ не существует (терпит разрыв).

Определение. Значения аргумента, при которых f¢(x)=0, или f¢(x) терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из выше сказанного следует, что не при всяком критическом значении f(x) достигает min или max, но те точки, в которых достигается экстремум-критические.

Для нахождения экстремумов находят все критические точки, а затем исследуют любые из них. Исследование функции в таких точках опирается на следующие теоремы:

Теорема 2. (Достаточные условия существования экстремума). Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки x₁ Î (a,b) и дифференцируема в этой окрестности, за исключением может быть самой x₁. Если при переходе слева направо через производная меняет знак с + на -, то в x=x₁ функция достигает максимального значения, если же с - на + -минимум f(x).

Таким образом, если

Доказательство. Пусть f¢(x) изменяет знак с + на -, то есть рассмотрим случай a). Применим теорему Лагранжа:

f(x)-f(x₁)=f(x)(x-x₁), где xÎ(x,x₁)

1). Пусть далее x<x₁. Þ x< x₁, f¢(x)>0, f(x)(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (*)

2). x>x₁. Þ x> x₁, f¢(x)<0, f(x)(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (**)

Соотношения ( * ) и (* * ) показывают, что для любого x₁ Î (a,b) f(x)<f(x₁) Þ f(x₁)=max f(x), x₁ Î (a,b).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.

Геометрический смысл. Пусть x₁ достигается max f(x) Þ x< x₁, касательная к кривой образует острый угол a, а при x< x₁, a - тупой. То есть до x₁ f(x) возрастает, а после x₁ f(x) убывает, таким образом в x₁ происходит переход от возрастания к убыванию.

Аналогично для минимума Þ f(x) убывает до x₁, а затем возрастает.

Если же f¢(x₃)=0,но и для x< x₃ и x< x₃ f ¢(x) не изменяет знака Þ f(x) возрастает или убывает и до и после x₃ и экстремум не достигается.

y=x³, y¢=3x², y¢=f¢(x), при x=0, но при |x|>0 f¢(x)>0 -экстремума нет.

Дать рисунки для всех 3-х случаев.

 

 

Схема исследования дифференцируемой f(x) функции на экстремум с помощью первой производной.

1. Находится f¢(x).

2. Находятся критические x:

a) f¢(x)=0 и находятся действительные корни

Б) находятся x, при которых f¢(x) терпит разрыв.

3. Исследуется знак f¢(x) слева и справа от критической точки. Так как sign f¢(x)=const в интервале между критическими точками, то достаточно выбрать наиболее удобные для вычисления точки между критическими.

4. Вычисляются значения f(x) при любом критическом значении x.

В результате могут быть четыре возможных случая:

x<x1	x=x1	x>x1
+	f¢(x1)=0 или разрыв	-	max
-		+	min
+		+	f(x)­
-		-	f(x)¯

Примеры: