Геометрический смысл производной. Определение производной

Определение производной

Пусть y=f(x) определена в некотором промежутке. Пусть аргумент x получил приращение Dx. Тогда функция получит некоторое приращение Dy:

x Þ f(x)

x+Dx Þ y+Dy=f(x+Dx) Þ Dy=f(x+Dx) - f(x)

Составим отношение

Если существует, то его называют производной функции f(x):

Определение: Производной функции f(x) по аргументу x называется предел отношения Dy к приращению Dх, когда последнее произвольным образом стремится к нулю (®0).

В общем случае для " x имеет определенной значение, т.е. производная также является функцией от x. Наряду с обозначением f¢(x) употребляется:

Конкретное значение f¢(x) при x=a:

или

Операция взятия производной от f (x) называется дифференцированием f (x).

Пример: y=x², x+Dх Þ y+Dy=(x+Dх)², ÞDy=2xDх+Dх²

y=1/x …

Геометрический смысл производной

Выше мы установили, что скорость является производной от пути S(t) по времени t. Теперь – геометрической толкование. В первую очередь введем понятие касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеется некоторая кривая y=f(x). Возьмем на ней фиксированную точку М₀ (x₀,y₀=f(x₀)) и точку М₁ Î y=f(x). Тогда М₀М₁ - прямая, которая называется секущей. Пусть теперь М₁ ® М₀, но всегда М₁ Î y. Если при неограниченном приближении М₁ к М₀ секущая М₀М₁ стремиться занять положение М₀T, то М₀T - называется касательной к y в точке М₀.

Итак, пусть М₀=( x ₀,y₀), а М₁=( x ₀+Dx,y₀+Dy) и пусть - угол между М₀М₁ и ОХ. Тогда

Если Dx®0 Þ М₀ ® М₁, М₀М₁ будет поворачиваться вокруг М₀ (т.к. она «закреплена») и j будет меняться с изменением Dx. Если при Dx®0 j ®a, то прямая, проходящая через точку М₀ и составляющая с ОХ угол a и будет некоторой касательной:

Þ , т.е.

f¢(x₀)=tga

Геометрический смысл:

Значение производной f¢(x) при заданном x равно tga, образованного касательной к графику f(x) в точке M(x,y) с положительным направлением оси ОХ..

Чтобы вывести уравнение касательной к f(x) в точке М₀=( x ₀,y₀) можно поступить следующим образом. Нам известна точка, через которую она проходит, и ее угловой коэффициент, равный tga или f¢(x₀), т.е. k₀=f¢(x₀). Уравнение такой прямой имеет вид: