И заданных параметрических

Если f(x)ºj(x) Þ f|(x)ºj¢(x).

Пусть теперь аргумент x и функция y=y(x) связаны уравнением, не разрешенным относительно y.

Например:

(*) x²+y³=a² –определяет ,подставляя которую в (*),получим тождество: , Þ

что если (*) продифференцируем по x, считая y=y(x), то получится новое уравнение относительно x, y, y¢,которое обратилось бы в тождество, если в него подставить выражения y¢=y¢(x) и y=y(x).

Так как * в общем случае не известны * всегда можно найти *.

Дифференцируя (*), найдем

2x+3y²y¢=0 Þ

Правило. Если F(x,y)=0 Þ для нахождения y¢ надо продифференцировать уравнение по x, считая y=y(x). Разрешая полученное уравнение относительно y¢,найдем выражение y¢ через x и y.

Примеры

1) x³+y³-3axy=0

2) x×e^y+y=a

Пусть теперь x=j(t) и y=y(t), где j(t) и y (t) - дифференцируемые функции, и j¢¹ 0. Естественно, что j (x) и y (x) непрерывны и поэтому при Dt®0, Dx®0 и Dy®0.

Так как j¢ (t)¹0Þ x=j(t) -монотонная функция и поэтому Dt и Dx ®0 одновременно. Тогда

 

Примеры x=a×cost, y =a×sin t

x=a×(t-sin t), y=a×(1-cost) (y¢=ctg(t/2))

 

Иногда, при дифференцировании произведения многих функций или частного, а также при дифференцировании показательно-степенной функции y=[u(x)]^v(x) используется так называемое логарифмическое дифференцирование. Сначала находят ln y, затем

и потом находят

y¢=y(ln y)¢

Пример:

1) y=u^v, ln y=v×ln u

(ln y)¢=v¢×ln u + v×u¢/u Þ

2)

 

Дифференциал функции

Столь же важным в математическом анализе, как и производная, является понятие дифференциала функции.

Для любой дифференцируемой f(x) связь между D y и D x записывается в виде (*) D y=(y¢+a)Dx=y¢Dx+aDx

Величина a - бесконечно малая вместе с D x, то есть

В силу этого a×D x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с D x, а y¢×Dx -бесконечно малая величина того же порядка, что и D x, если y¢¹0 при данном x.

Таким образом (*) определяет бесконечно малую D y (y¢¹0) в виде суммы двух слагаемых: y¢×Dx=O(Dx) и a×Dx=o(Dx). Поэтому y¢×Dx - будет главной частью приращения D y, причем пропорциональной D x.

Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом:

(* * ) dy=y¢×Dx

Если (* * ) применить к аргументу x, то так как (x)¢=1 Þ

dx=(x)¢Dx=1×Dx=Dx

Поэтому dy=y¢×Dx

Внося dy и dx в ( * ) получим:

(** * ) Dy=dy+a×dx

Таким образом установлены следующие свойства дифференциала и его связь с приращением функции:

1. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента (то есть независимой переменной).

d y= y¢×Dx

2. Разность между приращением функции D y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с D x

D y-dy=o(Dx)

а также (при y¢¹0) высшего порядка по сравнению с D y или dy

 

D y-dy=o(Dy) ( т.к. Dy=O(Dx),

D y-dy=o(dy) ( т.к. dy=y¢×Dx)

3. В силу последнего свойства, при y¢¹0 приращение D y и дифференциал dy при бесконечно малом D x являются равносильными бесконечно малыми величинами:

dy~Dy

Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл:

Значение дифференциала функции при данных x и Dx равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой x графика f(x) при переходе от x к точке с абсциссой x+Dx.

В самом деле dy=KN, то есть катет РИСУНОК

DMNK, MK=Dx, ÐKMN=a, tga=y¢ Þ

KN=MK×tga=y¢×Dx=dy