Теоретическое введение. Характеристики движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, могут быть определены из основного уравнения динамики вращательного движения

Характеристики движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, могут быть определены из основного уравнения динамики вращательного движения

(7.1)

где – момент инерции тела, – угловая скорость, – угловое ускорение, – полный момент внешних сил.

Уравнение (7.1) – это второй закон Ньютона для вращательного движения. То есть, отличительной особенностью задачи о вращении тела вокруг оси по сравнению с задачей о движении материальной точки является то, что теперь в основное уравнение входит не масса тела , а момент инерции , и не сила , а момент силы относительно оси .

При выводе этого уравнения пользуются приемом, который применяется в механике для изучения движения абсолютно твердых тел конечных размеров. Все тело мысленно разбивается на совокупность маленьких частичек с массами ( - номер частиц), которые можно рассматривать как материальные точки с неизменными расстояниями между ними. При этом - масса всего тела. В результате задача сводится к задаче о вращении системы материальных точек вокруг оси. Из решения ее следует, что момент инерции тела определяется таким образом

(7.2)

Величина равна сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения . Вектор лежит в плоскости вращения массы и направлен от оси вращения к этой материальной точке. Из определения (7.2) видно, что задание полной массы тела еще ничего не говорит о величине его момента инерции , который зависит от того, как расположены различные части тела относительно той или иной оси.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма в (7.2) заменится на интеграл по всему объему тела. Каждый из элементарных объемов тела массой при переходе к бесконечно малым заменяем на и соответственно

(7.3)

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно оси представляет собой сложную задачу – необходимо знать, как плотность тела меняется от точки к точке . Если эта зависимость известна, тогда нужно вычислить тройной интеграл . Это несложно делать для однородных () симметричных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс (центр тяжести). Далее будут еще приведены выражения для моментов инерции шара, цилиндра, пустотелого цилиндра.

Величины моментов инерции чаще определяют из опыта. Рассмотрим, как это можно сделать, решая задачу о скатывании круглого однородного тела радиусом и массой без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.1), с использованием закона сохранения энергии.

Задача о скатывании – пример плоского движения твердого тела, т.е. движения, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Если ось вращения проведем через центр масс тела (т. О) перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела, то она (эта ось) будет двигаться поступательно, оставаясь параллельной самой себе.

В этом случае кинетическую энергию твердого тела при плоском движении можно представить как энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела и энергию поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс

(7.4)

здесь – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, – угловая скорость тела, – его масса.

Если тело скатывается с высоты , то в соответствии с законом сохранения энергии

(7.5)

Рис. 7.1.

Центр масс тела движется равноускоренно под действием силы трения покоя и составляющей силы тяжести. Поэтому, если обозначим через длину наклонной плоскости () и считаем, что тело движется с нулевой начальной скоростью, то можно записать

; ; ; ,

где – время движения тела по наклонной плоскости.

Предполагается, что тело скатывается без скольжения, и поэтому линейная скорость точек соприкосновения тела с наклонной плоскостью равна нулю, и так что скорость поступательного движения связана с угловой скоростью обычным соотношением .

Если теперь подставить выражения для и в (7.5), и решить это уравнение относительно , то получим

(7.6)

Это соотношение позволяет, измерив на опыте время скатывания тела , длину наклонной плоскости , массу тела и его радиус , определить момент инерции.

В то же время из (7.3) можно теоретически рассчитать момент инерции

шара – ;

цилиндра – ; (7.7)

пустотелого цилиндра , где и - внешний и внутренний радиусы цилиндра;

и сравнить их с измеренными значениями.

При решении задачи о качении тела предполагали, что силами трения качения можно пренебречь. Поэтому в законе сохранения энергии не учитывали работу этих сил трения. Сила же трения покоя (рис.7.1) как раз и создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс тела. В этом несложно убедиться, если получить выражение (7.6), используя не закон сохранения энергии (7.5), а решив уравнение движения для центра масс тела

(7.8)

(7.9)

Положительные направления оси и указаны на рис 7.1.

В заключение найдем условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание при качении тела. Пусть наше тело – цилиндр. Для него момент инерции . Если проскальзывания нет, то ускорение поступательного движения цилиндра при скатывании известным образом связано с угловым ускорением : . Подставив эти определения в уравнения (7.8) и (7.9), получим из этих уравнений выражение для сил трения