Екстремуми. Найбільше і найменше значення функції

В Maple для дослідження функції на екстремум є команда extrema(f,{cond},x,’s’), де f - функція, екстремуми якої шукаються, у фігурних дужках {cond} указуються обмеження для змінної, х – ім'я змінної, по якій шукається екстремум, в апострофах ’s’ – указується ім'я змінної, якій буде привласнена координата точки екстремуму. Якщо залишити порожньою фігурні дужки {}, то пошук екстремумів проводитиметься на всій числовій осі. Результат дії цієї команди відноситься до типу set. Приклад:

> readlib(extrema):

> extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,’x0’);x0;

{{ x=1 }}

В першому рядку висновку приводиться екстремум функції, а в другому рядку висновку – точка цього екстремуму.

Для знаходження максимуму функції f (x) по змінній х на інтервалі використовується команда maximize(f,x,x=x1..x2), а для знаходженнямінімуму функції f(x) по змінній х на інтервалі використовується команда minimize(f, x, x=x1..x2). Якщо після змінноївказати ’infinity’ або інтервал x=-infinity..+infinity, то команди maximize і minimize шукатимуть, відповідно, максимуми і мінімуми на всій числовій осі як в безлічі дійсних чисел, так і комплексних. Якщо такі параметри не указувати, то пошук максимумів і мінімумів проводитиметься тільки в безлічі дійсних чисел. Приклад:

> maximize(exp(-x^2),{x});

Недолік цих команд в тому, що вони видають тільки значення функції в точках максимуму і мінімуму, відповідно. Тому для того, щоб повністю вирішити задачу про дослідження функції y=f ( x ) на екстремуми з вказівкою їх характеру (max або min) і координат (x, у) слід спочатку виконати команду:

> extrema(f,{},x,’s’);s;

а потім виконати команди maximize(f,x); minimize(f,x). Після цього будуть повністю знайдені координати всіх екстремумів і визначені їх характери (max або min).

Команди maximize і minimize швидко знаходять абсолютні екстремуми, але не завжди придатні для знаходження локальних екстремумів. Команда extrema обчислює так само критичні точки, в яких функція не має екстремуму. В цьому випадку екстремальних значень функції в першому рядку висновку буде менше ніж обчислених критичних точок в другому рядку висновку. З'ясувати характер знайденого екстремуму функції f ( x ) в точці x=x0 можна, якщо обчислити другу похідну в цій точці і по її знаку зробити висновок: якщо, то в точці x0 буде min, а якщо - то max.

Координати точок максимуму або мінімуму можна отримати, якщо в параметрах цих команд після змінної записати через кому нову опцію location. В результаті в рядку висновку після самого максимуму (мінімуму) функції будуть у фігурних дужках вказані координати точок максимуму (мінімуму). Наприклад:

> minimize(x^4-x^2, x, location);

, { , }

В рядку висновку вийшли координати мінімумів і значення функції в цих точках.

Команди extrema, maximize і minimize обов'язково повинні бути завантажені із стандартної бібліотеки командою readlib(name), де name – ім'я завантажуваної команди.