Дослідження функції по загальній схемі

1. Область визначення функції f (x) – повністю може бути вказаний після дослідження функції на безперервність.

2. Безперервність і точки розриву функції f (x) досліджуються по схемі:

> iscont(f, x=-infinity..infinity);

> d1:=discont(f,x);

> d2:=singular(f,x);

В результаті наборам змінним d1и d2 будуть привласнені значення x-координат в точках розриву 1 і 2-го роду (якщо вони будуть знайдені).

3. Асимптоти. Точки нескінченних розривів визначають вертикальні асимптоти графіка f (x). Рівняння вертикальної асимптоти має вигляд:

> yr:=d2;

Поведінка функції f (x) на нескінченності характеризується похилими асимптотами (якщо вони є). Рівняння похилої асимптоти y=kx+b, де коефіцієнти обчислюються по формулах:

і .

Аналогічні формули для . Тому знаходження похилих асимптот можна провести по наступній схемі:

> k1:=limit(f(x)/x, x=+infinity);

> b1:=limit(f(x)-k1*x, x=+infinity);

> k2:=limit(f(x)/x, x=-infinity);

> b2:=limit(f(x)-k2*x, x=-infinity);

Часто виявляється, що k1=k2 і b1=b2, в цьому випадку буде одна асимптота при і при. З урахуванням цього складається рівняння асимптоти

> yn:=k1*x+b1;

4. Екстремуми. Дослідження функції f (x) на екстремуми можна проводити по схемі:

> extrema(f(x) {}, x, ’s’);

> s;

> fmax:=maximize(f(x), x);

> fmin:=minimize(f(x), x);

Після виконання цих команд будуть знайдені координати (x, у) всіх максимумів і мінімумів функції f (x).

Побудова графіка.

Побудова графіка функції f (x)– це остаточний етап дослідження функції. На малюнку крім графіка досліджуваної функції f (x) повинні бути нанесений всі її асимптоти пунктирними лініями, підписані координати точок max і min. Прийоми побудови графіків декількох функцій і нанесення написів були розглянуті в темі III.

Інтегрування

Невизначений інтеграл обчислюється за допомогою 2-х команд: прямого виконання - int(f, x), де f - подынтегральная функція, x - змінна інтеграції; відкладеного виконання - Int(f, x) - де параметри команди такі ж, як і в команді прямого виконання int. Команда Int видає на екран інтеграл в аналітичному виді математичної формули. Для обчислення певного інтеграла в командах int і Int додаються межі інтеграції, наприклад

> Int((1+cos(x))^2, x=0..Pi)=int((1+cos(x))^2, x=0..Pi);

Якщо в команді інтеграції додати опцію continuous: int(f, x, continuous), то Maple ігноруватиме будь-які можливі розриви підінтегральної функції в діапазоні інтеграції. Це дозволяє обчислювати невласні інтеграли від необмежених функцій. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтеграції обчислюються, якщо в параметрах команди int указувати, наприклад, x=0..+infinity.

Чисельна інтеграція виконується командою evalf(int(f, x=x1..x2), e), де e - точність обчислень (число знаків після коми).