Класифікація рівнянь математичної фізики

Задачі математичної фізики

 

При вивченні більшості фізичних явищ та процесів приходиться мати справу з тим, що їх властивості описуються диференціальними рівняннями у часткових похідних, в яких невідомими величини є функції не однієї, а декількох змінних. Аргументам таких рівнянь надають змісту просторових змінних або просторових змінних і часу.

В загальному випадку диференціальне рівняння з частковими похідними можна записати у такій формі:

(8.1)

де - постійні коефіцієнти,

- невідома функція, аргументи якої змінні і , одна із яких може бути часом , а інша, допустимо , просторовою змінною;

; ; - часткові похідні другого порядку;

; - часткові похідні першого порядку;

- відома функція, яка враховує взаємодію фізичної системи з навколишнім середовищем.

Існує три типи рівнянь (8.1):

Якщо , то рівняння (8.1) називається еліптичним;

Якщо , то рівняння (8.1) буде параболічним і якщо , то матимемо гіперболічне рівняння.

У випадку постійних коефіцієнтів при похідних другого порядку шляхом перетворення змінних рівняння (8.1) можна привести до виду, яке не вміщує змішаних похідних (b = 0). Тоді тип рівняння визначається за таким правилом: якщо у рівняння (8.1) b = 0 і постійні коефіцієнти при похідних другого порядку мають одинакові знаки в одній частині рівняння, то таке рівняння – еліптичне; якщо різні – гіперболічне; якщо похідна другого порядку за однією із змінних відсутня (b = 0; ас = 0 при ) – параболічне.

 

Еліптичні рівняння

Як приклади еліптичних рівнянь у часткових похідних можна навести рівняння Лапласа, Пуассона і Гельмгольца.

Якщо ввести оператор Лапласа функції , то в загальному вигляді можна записати

- рівняння Лапласа;

- рівняння Пуассона;

- рівняння Гельмгольца,

де , - задані функції, зміст яких визначається задачею, що розв’язується.

У рівняннях Лапласа, Пуасона, Гельмгольца одна із мінних може бути як просторовою координатою, так і часом .

Рівняння Лапласа використовують для математичного опису електромагнітних полів, магнітних полів постійного струму, стаціонарних теплових полів.

Області застосування рівнянь Пуассона – задачі електростатики, електронної оптики, теорії пружності та ін.

Рівняння Гельмгольца є математичною моделлю коливних процесів, наприклад, в акустиці.

Допустимо, що розв’язок еліптичного рівняння належить області Ω з границею Г. Розглянемо найпростіший випадок, коли Ω - прямокутник [ a, b ] x [ c, d ].

Двовимірну область W накриємо сіткою вузлів з координатами (рис 8.1), де , ; , , ,

- кількість вузлів розбиття; - кроки та сітці.

 

Рисунок 8.1 –Сітка для дискретизації задачі

Вузли називають внутрішніми, коли , і граничними, коли або та або , тобто , ,

, (8.2)

, , .

Виразимо оператор Лапласа у дискретному вигляді, скориставшись формулою для обчислення наближення до другої похідної

. (8.3)

У відповідності з формулою (8.3) будемо мати

(8.4)

і відповідно

. (8.5)

Якщо - розрахункова точка, то і відповідно , , , ,

де .

Аналогічно , ,

Отже, в розрахунковій точці часткові похідні і можна замінити такими різницевими рівняннями:

,

.

 

Переходячи до прийнятих позначень, отримаємо

, (8.6)

. (8.7)

Таким чином,

. (8.8)

Різницеве рівняння (8.8) можна спростити, якщо крок сітки зробити постійним як за змінною , так за змінною тобто .

Тоді

. (8.9)

Допустимо, що числовим методом необхідно розв’язати диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку, яке є еліптичним рівнянням

, (8.10)

де - задана функція, а W - прямокутник. Тоді у відповідності з (8.8) запишемо дискретний аналог еліптичного рівняння

. (8.11)

Рівняння (8.10 необхідно доповнити сукупністю граничних умов (8.2) на Г.

Розглянемо техніку обчислення значень функції у вузлах решітки W Розглянемо перших три шари решітки (рис 8.2). Зафіксуємо значення j. Візьмемо j =1.

Тоді при із (8.11) отримаємо рівняння

.

Якщо тепер змінювати від 2 до , то

, .

І, нарешті, при будемо мати

,

де .

 

 

Рисунок 8.2-Перші три шари решітки W

 

Тепер можна взяти j =2 і знову скласти систему із n -1 рівнянь. Повторюючи процес складання рівнянь для , отримаємо систему із рівнянь в якій невідомих.

Сказане проілюструємо конкретним прикладом.

Приклад 8.1. Знайдемо наближений розв’язок еліптичного рівняння у прямокутнику де - температура у точці (x,y), а граничні умови наступні:

для ,

для .

Виберемо крок сітки знайдемо кількість вузлів сітки: в напрямку ; у напрямку .

Сітка W показана на рис 8.3

 

Рисунок 8.3 – Сітка W для n = m =5

 

Складемо систему алгебраїчних рівнянь використавши формулу (8.11) в якій , а . Маємо

. (8.12)

Змінюючи індекси та j від 1 до 3 отримаємо систему із дев’яти рівнянь

,

,

;

,

,

,

;

 

,

,

.

Отриману систему рівнянь можна записати у матрично векторній формі

, (8.13)

де

, ,

 

Відмітимо, що при складанні системи рівнянь зручно використовувати шаблон типу “хрест” (рис 8.4). Першою у рівнянні (8.11) записується змінна другою , третьою з коефіцієнтом мінус чотири, четвертю і п’ятою .

 

Рисунок 8.4-Шаблон типу “хрест”

 

У тому випадку, коли у процесі складання рівнянь шаблон вміщує граничні точки, то значення відповідних змінних та , які відповідають таким точкам, переносяться у праву частину рівнянь (8.11).

Для розв’язування отриманої системи рівнянь (8.13) скористаємося процедурою SystemEqualizationAgebra (роділ 6). У результаті розв’язку отримані такі значення компонентів вектора: Графік зміни температурного поля в координатах показаний на рис 8.5.

Рисунок 8.5 –графік зміни температури у вузлових точках функції

Таким чином, задачу розв’язку еліптичних рівнянь ми апроксимували дискретною задачею, яка має другий порядок точності і яка має однозначне рішення. Це рішення збігається до рішення з початкової задачі при нескінченному згущенні вузлів сітки за двома змінними одночасно.

 

 

Параболічні рівняння

Як приклад параболічного рівняння розглянемо рівняння теплопровідності

, (8.14)

з початковими умовами за змінною

при (8.15)

і крайовими умовами за просторовою координатою х

, , при (8.16)

Рівняння (8.14) можна інтерпретувати як задачу визначення температури тонкого однорідного стержня (бруса) довжиною l, якщо відомий розподіл температури в стержні у початковий момент часу t= 0(початкова умова (8.15))і відома зміна температури на кінцях стержня х= 0 і х=l у будь-який момент часу t (граничні умови (8.16)) Коефіцієнт а² в (8.14) визначається теплофізичними властивостями матеріалу, а функція g(t,x) виражає дію зовнішнього теплового джерела на стержень і вважається заданою.

Із умов (8.15) і (8.16) видно, що область W - прямокутник зі сторонами у системі координат , а її границя утворена відрізками прямих , , і . Як і раніше розіб’ємо прямокутник на прямокутників зі сторонами і , тобто

, (8.17)

. (8.18)

Значення функції у вузлах позначимо через (рис 8.6) Аналогічне позначення введемо і для функції .

 

Рисунок 8.6 – Сітка області W

 

Часткові похідні і замінимо різницевими апроксимаціями першого порядку

,

.

Оскільки (див. рис. 8.6) , , то

, (8.19)

. (8.20)

Замінюючи в рівнянні (8.14) часткові похідні і їх апроксимаціями (8.16) і (8.17).

Отримаємо наступне рівняння

,

, , (8.21)

де .

До рівнянь (8.21) слід добавити початкові та граничні умови, які отримаємо шляхом апроксимації функції умов (8.15) і (8.16). Маємо

, (8.22)

(8.23)

Якщо індекси i та j в (8.21) будуть набувати значень від 1 до n -1 і від 1 до m -1 відповідно, то в результаті отримаємо систему (n -2)(m -2) алгебраїчних лінійних рівнянь з (n -2)(m -2) невідомими. Складання такої системи рівнянь опирається на шаблон різницевої схеми (8.18) (рис 8.7).

 

 

Рисунок 8.7 Шаблон різницевої схеми (8.21)

 

Апроксимація рівняння (8.14) різницевою схемою (8.21) може привести до того, що обчислювальний процес стає нестійкий. Це означає, що помилки, які виникають на одному шарі можуть збільшуватись на наступних парах для деякою . Для того щоб отримати стійку схему обчислень розмір кроку повинен підкорятись нерівності .

Інший спосіб отримання різницевої схеми, яка апроксимує параболічне рівняння (8.14) полягає в апроксимації першої похідної лівою різницею

. (8.24)

Після заміни другої і першої похідних в (8.14) їх апроксимаціями (8.20) і (8.24) отримаємо

Звідси знаходимо, що

. (8.25)

Зміні, які входять у різницеву схему (8.25), утворюють шаблон, який показаний на рис. 8.8.

 

 

Рисунок 8.8 – Шаблон для різницевої схеми (8.25)

 

Структура системи рівнянь (8.25) така, що значення невідомих можна обчислювати для кожного шару окремо. Враховуючи, що на нульовому шарі значення відомі, формула (8.25) дає можливість безпосередньо обчислювати всі значення для першого шару. Знаючи значення першого шару, можна обчислити значення для другого шару і т.д.

Отже, для знаходження значень у вузлах першого шару необхідно розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь

,

де , , .

Значення величин у вузлових точках другого шару отримаємо як розв’язок системи

,

де , , , і т. д.

Для передостаннього шару, коли , будемо мати

.

У кожній із двох розглянутих різницевих схем (8.21) і (8.25) для обчислення значень на і -ому шарі використовуються значення функції , на двох сусідніх шарах. Звідси і їх назва – двошарові схеми.

При цьому різницева схема (8.21), яка є формулою для безпосереднього обчислення шуканих значень носить назву – явної схеми, а схема (8.25), яка для своєї реалізації вимагає розв’язку систем алгебраїчних рівнянь (при переході від шару до шару) називається неявною схемою.

Приклад 8.2. Розв’язати числовим методом параболічне рівняння , коли відсутня дія зовнішнього джерела тепла, тобто .

Шляхом вибору безрозмірних величин: і рівняння (8.14) можна привести до вигляду, у якому коефіцієнт при частковій похідні буде дорівнювати одиниці.

Оскільки і , то і . Підставляючи значення і у рівняння (8.14), отримаємо

. (8.26)

Виберемо масштаб часу таким, щоб коефіцієнт у рівнянні (8.26) був рівний одиниці, тобто

.

При такому виборі рівняння (8.26) набуде такого вигляду:

. (8.27)

з початковою умовою

для і (8.28)

і граничними умовами

, для і ,

, для і , (8.29)

де .

Графік розподілу температури вздовж стержня в початковий момент часу показано на рис.8.9.

Рисунок 8.9 – Розподіл температури вздовж стержня у початковий момент часу

Крок дискретності виберемо таким, щоб виконувалась умова . Візьмемо .

Інтервал зміни розіб’ємо на частин. Тоді , а і відповідно .

Для розв’язку задачі (8.27) з початковою умовою (8.28) і граничними умовами (8.29) використаємо явну різницеву схему (8.21). Відповідне алгоритмічне забезпечення має назву EqualizationHeat-conducting, де індексація починається не з нуля, а з одиниці тому в (8.21) індекс замінимо на . У результаті отримаємо

, (8.30)

де .

 

EqualizationHeat-conducting

Процедура розв'язку рівняння теплопровідності

Вхід:fi(x)-заноситься у підпроцедуру run_fiX

alfa(t)=u(0,t)i beta(t)=u(l,t)

l i tk - праві точки інтервалів [0;l] i [0;tk]

a-постійна у рівнянні теплопровідності

n i m-число точок решітки [0;l] i [0;tk]

Вихід:U-матриця розв'язків

Вхідні дані

1 l=1

2 tk=0.5

3 c1=0

4 c2=0

5 a=1

6 m=80;

7 n=21

Кроки tau і h на решітці

8 h=1/(n-1)

9 tau=tk/(m-1)

Параметри рівняння та ініціалізація U

9 gama=tau*a^2/h^2;

10 gama_1=1-2*gama;

11 Створити нульову матрицю U розміром nxm

12 Створити нульовий вектор fi розміром n-2

Граничні умови

13 U(1,1:m)=c1

14 U(n,1:m)=c2;

Генерування значень функції u(x,t) другого рядка

15 x=0

16 for i=2 to n-1

17 x=x+h

18 fi=fun_fiX(x)

19 U(i,1)=fi

20 end for

21 for i=1 to n

22 X(i)=(i-1)*h

23 F(i)=fun_fiX(X(i))

24 end for

25 Побудувати графік розподілу температури вздовж стержня у

початковий момент часу в координатах F,X

Генерування значень функції u(x,t) наступних рядків

26 for j=2 to m

27 for i=2 to n-1

28 U(i,j)=gama_1*U(i,j-1)+gama*(U(i-1,j-1)+U(i+1,j-1))

29 end for

30 end for

31 Побудувати графік функції у координатах x,y,U

 

Підпроцедура fun_fiX

fi=fun_fiX(x)

Функція, що задає початкові умови fi(x)

fi=4*x*(1-x)

 

Результати роботи програми відображені на рис. 8.10.

Рисунок 8.10 - Графік функції