2018-01-08
313
Як приклад гіперболічного рівняння розглянемо математичну модель вільних коливань струни
, (8.31)
кінці якої зафіксовані у точках х = 0 і х = l. У початковий момент часу кожній точці струни придали початкове зміщення 
і швидкість 
.Постійна 
у рівняння (8.31) визначається вагою і натягом струни.
Отже, процес коливань струни визначається такими початковими
при 
, (8.32)
, при (8.33)
і граничними
, 
=0 при 
(8.34)
умовами.
Задача (8.32) – (8.33) визначена на прямокутній області 
, яка є ідентичною для задачі про теплопровідність і тому для побудови різницевої схеми доцільно використати ті ж вузли, що і раніше (див. п. 8.3).
Часткові похідні другого порядку будемо апроксимувати за відомими нам формулами:
, (8.35)
. (8.36)
Замінивши у (8.31) часткові похідні 
і 
їх наближеннями (8.35) і (8.36), отримаємо різницеву схему
,
яка апроксимує хвильове рівняння (8.31) на шаблоні типу «хрест» (рис.8.4).
Якщо ввести позначення 
, то
, (8.37)
де 
, 
.
Відповідним чином видозмінюється початкова (8.32)
(8.38)
і гранична (8.34)
, 
, 
(8.39)
умови.
Оскільки кінці струни зафіксовані у точках 
і 
, то 
і 
.
Початкова умова (8.33) задана у диференціальній формі, що вимагає, застосування до неї форм апроксимації. Найпростіша із них
.
Тоді у відповідності з (8.33) 
або
. (8.40)
У тому випадку, коли функція має другу похідну, можна скористатися формулою Тейлора порядку два, щоб обчислити значення 
для другого ряду.
Оскільки 
. У відповідності з рівнянням (8.31) 
.
Отже,
(8.41)
Розкладемо функцію 
у ряд Тейлора порядку два. Маємо
,
де 
; 
;
- залишковий член ряду Тейлора.
Оскільки, у відповідності з формулою (8.33) 
а згідно (8.40) 
то
. (8.42)
Формулу (8.42) можна застосувати для обчислення значень 
для першого ряду. Для цього візьмемо 
, , а функції 
апроксимуємо за формулою
, (8.43)
де 
.
Так як 
, то формули (8.42) і (8.43) дають можливість записати наступну формулу для дискретних значень 
: 
.
Оскільки 
,
то 
.
Якщо врахувати, що 
, то
. (8.44)
На відміну від формули (8.37), яка забезпечує перший порядок точності 
, формула (8.40) має другий порядок точності 
.
Доказано*, що умова 
забезпечує стійкість обчислювального процесу за різницевою схемою (8.37).
Приклад 8.3. Задано хвильове рівняння
, 
і 
,
де а = 2, з граничними умовами
, 
для 
,
, для ,
для .
Знайти його розв’язок числовим методом. Виберемо 
. Для стійкого обчислювального процесу повинна виконуватись умова 
. Візьмемо 
. Оскільки 
, то 
. Отже, кількість точок для дискретних значень х - 
, а для дискретних значень 
.
Обчислення значень функції у вузлах 
будемо здійснювати за формулою (8.37). значення для нульового ряду обчислюється за формулою (8.38), а для першого ряду – за (8.44).
Процедура HyperbolicEqualization знаходить наближений розв’язок хвильового рівняння (8.31) за різницевою схемою (8.37).
HyperbolicEqualization
Розв'язок хвильового рівняння (гіперболічного)
Вхід:fi(x)-визначається підпроцедурою run_fiG
psi(x)- визначається підпроцедурою run_psiG
l i tk - праві точки інтервалів [0;l] i [0;tk]
a-постійна у хвильовому рівнянні
n i m-число точок решітки [0;l] i [0;tk]
Вихід:U-матриця розв'язків
Вхідні дані
1 l=1
2 tk=0.5
3 a=2
4 m=21
5 n=21
Кроки tau і h на решітці
6 h=1/(n-1)
7 tau=tk/(m-1)
Параметри рівняння та ініціалізація U
8 gama=tau^2*a^2/h^2
9 Створити нульову матрицю U розміром nxm
Генерування значень функції u(x,t) першого і другого рядів
10 for i=2 to n-1
11 fi_1=fun_fiG(h*(i-1))
12 fi=fun_fiG(h*i)
13 fi_2=fun_fiG(h*(i-2))
14 psi_1=fun_psiG(h*(i-1))
15 U(i,1)=fi_1
16 U(i,2)=(1-gama)*fi_1+tau*psi_1+gama*(fi+fi_2)/2
17 end for
Генерування значень функції u(x,t) наступних рядків
18 for j=3 to m
19 for i=2 to n-1
20 U(i,j)=2*(1-gama)*U(i,j-1)+gama*(U(i-1,j-1)+...
21 U(i+1,j-1))-U(i,j-2)
22 end for
23 end ror
24 Побудувати графік функції у координатах x,y,U
