Рис. 1
Уравнение Шрёдингера
, (5)
. (6)
Граничные условия: . (7)
В пределах «потенциальной ямы»:
, . (8)
Общее решение: (9)
(9) (8):
Из граничных условий: (9):
(9): (10)
, n = 1, 2, 3, … (11)
Энергия в потенциальной яме зависит только от целого числа n, т.е. квантуется. - уровни энергии, n - главные квантовые числа.
Собственные функции: (10) (9):
. (12)
Постоянная интегрирования А находится из условия нормировки:
Табличный интеграл:
(13)
Энергетический интервал между двумя уровнями энергии
,
при l = 10-1 м мало, энергетические уровни расположены тесно- непрерывное распределение энергии;
при l = 10-10 м велико, энергия дискретна- линейчатый спектр.
Принцип соответствия Бора
Законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел должны переходить в законы классической физики.
48.
Туннельный эффект
Tunnelingeffect
Туннельный эффект (туннелирование) – прохождение частицы (или системы) сквозь область пространства, пребывание в которой запрещено классической механикой. Наиболее известный пример такого процесса – прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, когда её энергия Е меньше высоты барьера U0. В классической физике частица не может оказаться в области такого барьера и тем более пройти сквозь неё, так как это нарушает закон сохранения энергии. Однако в квантовой физике ситуация принципиально другая. Квантовая частица не движется по какой-либо определенной траектории. Поэтому можно лишь говорить о вероятности нахождения частицы в определенной области пространства ΔрΔх > ћ. При этом ни потенциальная, ни кинетическая энергии не имеют определенных значений в соответствии с принципом неопределенности. Допускается отклонение от классической энергии Е на величину ΔЕ в течение интервалов времени t, даваемых соотношением неопределённостей ΔЕΔt > ћ (ћ = h/2π, где h – постоянная Планка).
|
|
Возможность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер обусловлена требованием непрерывной волновой функции на стенках потенциального барьера. Вероятность обнаружения частицы справа и слева связаны между собой соотношением, зависящим от разности E - U(x) в области потенциального барьера и от ширины барьера x1 - x2 при данной энергии.
С увеличением высоты и ширины барьера вероятность туннельного эффекта экспоненциально спадает. Вероятность туннельного эффекта также быстро убывает с увеличением массы частицы.
Проникновение сквозь барьер носит вероятностный характер. Частица с Е < U0, натолкнувшись на барьер, может либо пройти сквозь него, либо отразиться. Суммарная вероятность этих двух возможностей равна 1. Если на барьер падает поток частиц сЕ < U0, то часть этого потока будет просачиваться сквозь барьер, а часть – отражаться. Туннельное прохождение частицы через потенциальный барьер лежит в основе многих явлений ядерной и атомной физики: альфа-распад, холодная эмиссия электронов из металлов, явления в контактном слое двух полупроводников и т.д.
|
|
Состояние микрочастицы описывается в квантовой механике волновой функцией ψ. Она является функцией координат и времени. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:
. (8.14)
Волновая функция может быть найдена путем решения уравнения Шрёдингера:
. (8.15)
Здесь Δ – оператор Лапласа (); U –потенциальная энергия частицы. Уравнение Шрёдингера является основным уравнением квантовой механики. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теоретически, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шрёдингера также нельзя вывести из каких-либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем обстоятельством, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.
В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна:
. (8.16)
Уравнение Шрёдингера имеет в этом случае вид:
. (8.17)
Можно показать, что (8.17) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных:
, (n =1, 2, 3,…∞). (8.18)
Случай Е> 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е< 0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение (8.18) и (8.10) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются логическим путём при решении уравнения Шрёдингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предположения.