Потенциальная энергия. Связь силы и потенциальной энергии

Работа силы тяжести. Найдем работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела массой вертикально вниз с высоты над поверхностью Земли до высоты (рис. 66).

Если разность пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу тяготения во время движения тела можно считать постоянной и равной .

Так как перемещение совпадает по направлению с вектором силы тяжести, работа силы тяжести равна

. (20.1)

Рассмотрим теперь движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости (рис. 67) сила тяжести совершает работу

, (20.2)

где — высота наклонной плоскости, — модуль перемещения, равный длине наклонной плоскости.

Движение тела из точки В в точку С по любой траектории (рис. 68) можно мысленно представить состоящим из перемещений по участкам наклонных плоскостей с различными высотами , и т. д. Работа силы тяжести на всем пути из В в С равна сумме работ на отдельных участках пути:

, (20.3)

где и — высоты от поверхности Земли, на которых расположены соответственно точки В и С.

Равенство (20.3) показывает, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях.

При движении вниз работа силы тяжести положительна, при движении вверх — отрицательна.

Если после движения по какой-либо траектории тело возвращается в исходную точку, начальное и конечное значения высоты совпадают и работа силы тяжести оказывается равной нулю.

Работа силы тяжести на замкнутой траектории равна нулю.

Потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести. Равенство (20.3) можно представить в таком виде:

. (20.4)

Оно показывает, что работа силы тяжести при перемещении тела массой из точки, расположенной на высоте , в точку, расположенную на высоте от поверхности Земли, по любой траектории равна изменению некоторой физической величины, равной произведению , взятому с противоположным знаком.

Физическую величину, равную произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией тела.

Потенциальная энергия обозначается буквой .
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

. (20.5)

Значение потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, зависит от выбора нулевого уровня, т. е. высоты, на которой потенциальная энергия принимается равной нулю. Обычно принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.

При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия тела, находящегося на высоте над поверхностью Земли, равна произведению массы тела на Модуль ускорения свободного падения и расстояние его от поверхности Земли:

. (20.6)

Равенство (20.6) показывает, что потенциальная энергия тела, на которое действует сила тяжести, равна работе, совершаемой силой тяжести при перемещении тела на нулевой уровень.

В отличие от кинетической энергии поступательного движения, которая может иметь лишь положительные значения, потенциальная энергия тела может быть как положительной, так и отрицательной. Тело массой , находящееся на глубине от поверхности Земли, обладает отрицательной потенциальной энергией:

.

Работа силы упругости. Если к пружине с жесткостью прикрепить брусок, растянуть пружину и затем отпустить брусок, то под действием силы упругости растянутой пружины брусок придет в движение и переместится на некоторое расстояние.

Вычислим работу, совершаемую силой упругости при изменении деформации (удлинения) пружины от некоторого начального значения до конечного значения (рис. 69).

Сила упругости изменяется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы силы упругости можно взять среднее значение модуля силы и умножить на модуль перемещения:

. (20.7)

Так как сила упругости по закону Гука пропорциональна деформации пружины, среднее значение ее модуля равно

. (20.8)

Подставив в равенство (20.7) вместо ее значение из (20.8), получим

. (20.9)

или

. (20.10)

Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:

. (20.11)

Из формул (20.10) и (20.11) следует, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии упруго деформированного тела, взятому с противоположным знаком:

. (20.12)

Если и , то, как видно из формул (20.10) и (20.11),

.

т. е. потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.

Потенциальная энергия. Рассмотрение примеров взаимодействия тел силами тяготения и силами упругости позволяет обнаружить следующие признаки потенциальной энергии:

Потенциальной энергией не может обладать одно тело, не взаимодействующее с другими телами. Потенциальная энергия — это энергия взаимодействия тел.

Потенциальная энергия поднятого над Землей тела — это энергия взаимодействия тела и Земли гравитационными силами. Потенциальная энергия упруго деформированного тела — это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости