Відношення між множинами. Круги Ейлера

Множина – це невизначене поняття. Під множиною розуміють сукупність предметів, наприклад: одноцифрові числа, парні числа, множина овець…

Відношення: множини можуть:

· Не перетинатися тоді А∩В або А∩В = 0

· Перетинатися: А∩В = С

· Розташовуватись одна в одній

 

Діаграми Ейлера - Венна (круги Ейлера) – це геометричні уявлення множин. Побудова діаграм складається з зображення великого прямокутника, що представляє з себе універсальну множину U, а всередині його – круги (або будь-які інші замкнені фігури), що представляють множини. Фігури повинні перетинатись у найбільш загальному випадку, що вимагається в задачі і повинні бути відповідним чином позначені. Точки, що лежать всередині різних областей діаграми, можуть розглядатись як елементи відповідних множин. Маючи побудовану діаграму, можна заштрихувати певні області для позначення знову створених множин.

 

Операції над множинами: переріз множин. Закони перерізу множин

 

Перерізом множин А і В називається множина С, що складається з усіх тих і лише тих елементів, які входять до складу кожної з даних множин А і В і є спільною частиною множин А і В.

 

Властивості перерізів:

· Переставна властивість

· Сполучна властивість

 

 

 

Операції над множинами: об'єднання множин. Закони об’єднання множин.

Об’єднанням двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В і лише з них.
Властивості:

· Переставна

· Сполучна

· Розподільна

 

Розподільні закони об'єднання та перерізу множин

Як відомо, операції додавання та множення чисел підчиняються деяким законам: переставному, сполучному і т.д. із визначення перерізу та об'єднання множин витікає, що для любих множин А і В справедливою є рівність А∩В = В∩А і АUB=BUA.

 

(AUB)≠C = (A\C)U(B\C)

(A∩B)\C = (A\C)∩(B\C)

Доповнення підмножин

Нехай задана деяка множина U (універсальна множина або універсум). Якщо A ⊂ U, то елементи множини U, які не належать А, називаються доповненням множини А до множини U і позначають як CUA або UCA. Якщо A ⊂ U, B ⊂ U, то доповнення множини B до А називають різницею множин А та B (саме в такому порядку) і позначають А \ B або А-B, тобто A \ B = {x:x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Різниця множин A та B

Доповнення множини A до U

Примітка: Тут символ ∧ означає вимогу одночасної справедливості обох частин твердження (логічна зв'язка "І", кон'юнкція). Парний з ним символ ∨ означає вимогу справедливості щонайменш одного з двох тверджень (чи обох одночасно) (диз'юнкція, логічне АБО).

Приклади:

{1, 2} − {червоний, білий} = {1, 2}

{1, 2, зелений} − {червоний, білий, зелений} = {1, 2}

{1, 2} − {1, 2} = ∅

Якщо U - множина цілих чисел, то доповнення її підмножини A всіх парних чисел є підмножина В всіх непарних чисел.

Деякі властивості операції доповнення:

A ∪ A′ = U

A ∩ A′ = ∅

(A′)′ = A

A − B = A ∩ B′