2018-01-21
625
Тема заняття: Побудова математичних моделей економічних задач.
Мета: сформувати навички класифікації та побудови математичних моделей економічних задач.
Методичні рекомендації: Вивчити лекцію №1 та ознайомиться з наступною літературою [1 с. 13-35], [2 c. 5-32], [3 с. 6-30], [4 c.6-116].
Розглянемо побудову математичної моделі економічної задачі на наступному прикладі:
Приклад 1. Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає дві моделі збірних книжкових полиць — А та В. Полиці обох моделей оброблюють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки (у хвилинах) однієї полиці кожної моделі подано далі.
| Вертати | Тривалість обробки полиці, хв, за моделями | |
| А | В | |
Час роботи машин 1 та 2 становить відповідно 40 та 36 год. на тиждень. Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у.о., а моделі В — 30 у.о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а попит на полиці моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень. Необхідно визначити обсяги виробництва книжкових полиць різних моделей, що максимізують прибуток фірми. Побудувати економіко-математичну модель поставленої задачі та розв’язати її графічно.
|
|
|
Побудова математичної моделі. Невідомими в моделі є тижневі обсяги виробництва книжкових полиць моделей А та В. Позначимо х 1 — кількість полиць моделі А, які виготовляють на фірмі за тиждень, а х 2 — тижневий обсяг виробництва полиць моделі В. Цільова функція моделі — це максимізація прибутку фірми від реалізації продукції. Математично вона має такий вигляд:
.
Обмеження математичної моделі враховують час роботи верстатів 1 та 2 для обробки продукції та попит на полиці різних моделей.
Обмеження на час роботи верстатів 1 та 2 можна записати так:
для верстата 1
3 х 1 + 15 х 2 ≤ 2400 хв.
для верстат 2
12 х 1 + 26 х 2 ≤ 2160 хв.
Обмеження на величину попиту мають такий вигляд:
х 1 – х 2 ≤ 30 та х 2 ≤ 80.
Отже, економіко-математичну модель поставленої задачі можна записати так:
max Z = 50 х 1 + 30 х 2; (1)
| (2) (3) |
Записана економіка-математична модель є моделлю задачі лінійного програмування, що містить лише дві змінні.
Задача 1.
Невелика сімейна фірма виготовляє два види безалкогольних напоїв — "Pink Fizz" та "Mint Pop". Фірма має можливість реалізувати всю виготовлену продукцію, але об’єм виробництва обмежений кількістю головного компонента та потужністю виробничого обладнання. Для виготовлення 1 л напою "Pink Fizz" необхідно 0,02 години роботи обладнання, а для виготовлення 1 л напою "Mint Pop" — 0,04 години. Витрати головного компонента становлять 0,01 кг і 0,04 кг на 1 л напоїв "Pink Fizz" та "Mint Pop" відповідно. Щоденно фірма має можливість використовувати обладнання протягом 24 годин, та витрачати для приготування напоїв до 16 кг головного компонента. Прибуток фірми від реалізації 1 л напою "Pink Fizz" становить 0,1 у.о., а напою "Mint Pop" – 0,30 у.о. Побудувати математичну модель задачі, яка дозволить фірмі оптимізувати виробництво напоїв.
|
|
|
Задача 2.
Необхідно знайти оптимальний розподіл землі площею 10 тис. га під пшеницю та картоплю за критерієм максимум прибутку. Економічні показники їх виробництва наведені у наступній таблиці:
| Типи витрат | Витрати на 1 тис. га | Запаси ресурсів | |
| Пшениця | Картопля | ||
| Механізована праця, тис. людино-днів | |||
| Добрива, тис. т. | |||
| Врожайність, ц/га | |||
| Прибуток, грн./ц |
Задача 3.
Для виробництва двох видів продукції (А і В) підприємство використовує 4 вида ресурсів. Норми затрат ресурсів на виробництво одиниці продукції, об’єм ресурсів, а також прибуток від реалізації одиниці продукції наведені в таблиці:
| Види ресурсів | Норми затрат ресурсів, од. | Запаси ресурсів, од. | |
| А | В | ||
| Прибуток, у.о. |
Побудувати математичну модель задачі, яка дозволить визначити оптимальний план виробництва продукції, що забезпечить підприємству одержання максимального прибутку.
Задача 4.
Для відгодівлі тварин використовують два види кормів А і В, які містять у певній кількості поживні речовини С1, С2 і С3. Відомо, скільки одиниць кожної поживної речовини міститься в 1 кг кожного корму, мінімальна добова потреба у кожній поживній речовині при відгодівлі тварин, а також вартість 1 кг корму, і наведено у таблиці:
| Поживні речовини | Кількість одиниць поживних речовин в 1 кг корму | Мінімальна добова потреба у поживні речовині | |
| А | В | ||
| С1 | |||
| С2 | |||
| С3 | |||
| Вартість 1 кг корму, грн. |
Необхідно побудувати математичну модель задачі, яка дозволить скласти добовий раціон для відгодівлі тварин таким чином, щоб задовольнялася мінімальна добова потреба в поживних речовинах і загальна вартість раціону була б мінімальною.
Задача 5.
Відомо, що за агротехнічними нормами на 1 га ґрунту, що обробляє фермерське господарство, потрібно вносити протягом сезону основні поживні речовини у кількості не менше за 6 од. фосфору, 8 од. азоту, 12 од. калію. Фермерське господарство має можливість придбати добрива складу А1, А2 та А3. В 1 кг добрива в залежності від складу містяться основні поживні речовини у кількості:
А1: 2 од. Р, 1 од. N, 3 од. К
А2: 1 од. Р, 2 од. N, 4 од. К
А3: 3 од. Р, 1,5 од. N, 2 од. К
Ціни за 1 кг добрива складають: А1 – 2 грн., А2 – 3,5 грн., А3 – 2,5 грн. Побудувати математичну модель задачі, яка дозволить скласти найбільш економічний план закупівлі добрив.
Задача 6.
Для виготовлення трьох видів виробів І, ІІ, ІІІ мале підприємство використовує три типи устаткування, ресурс якого складає, відповідно, 360, 192 та 180 станко-годин. Від реалізації одиниці продукції І-го виду можна отримати прибуток 9 грн., ІІ-го – 10 грн., а ІІІ-го – 16 грн. Відома матриця технологічних коефіцієнтів 
, де 
– кількість годин, яка потрібна для виготовлення одиниці 
-го виробу на устаткуванні 
-го типу: 
. Побудувати математичну модель задачі, яка дозволить скласти план використання устаткування, за яким підприємство отримає найбільший прибуток від реалізації готової продукції.
ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ:
№1: Кондитерська фабрика для виготовлення трьох видів пастили А, В, С використовує три основні види сировини: цукор, фруктове пюре та молоко. Норми витрат на виготовлення 1 т. пастили кожного типу приведені в таблиці:
|
|
|
| Види сировини | Норми витрат сировини (т) на 1т видів пастили | Запаси сировини | ||
| А | В | С | ||
| Цукор | 0,6 | 0,8 | 0,5 | |
| Фруктове пюре | 0,4 | 0,2 | 0,1 | |
| Молоко | 0,2 | 0,3 | ||
| Прибуток від реалізації 1 т продукції (грн.) |
Побудувати математичну модель задачі.
№2: Для виготовлення двох видів продукції Р1 та Р2 використовують три види сировини S1, S2, S3. Всі дані наведені у таблиці: \
| Види сировини | Кількість одиниць сировини, використаної для виготовлення одиниці продукції | Запаси сировини | |
| Р1 | Р2 | ||
| S1 | |||
| S2 | |||
| S3 | |||
| Прибуток від одиниці продукції, грн. |
Побудувати математичну модель задачі.
№3: Для виготовлення трьох видів продукції А, В, С використовують фрезувальне, токарне, зварювальне та шліфувальне обладнання. Витрати часу на обробку одного виду продукції та загальний фонд робочого часу для кожного типу обладнання наведені в таблиці:
| Тип обладнання | Витрати часу (стан.-часів) на обробку одного виду продукції | Загальний фонд робочого часу обладнання (час.) | ||
| А | В | С | ||
| Фрезувальне | ||||
| Токарне | ||||
| Зварювальне | ||||
| Шліфувальне | ||||
| Прибуток |
Побудувати математичну модель задачі.
