Стратегія вирішення задачі

Функція зветься узагальненою функцією Лагранжа, числа – множники Лагранжа.

Класична функція Лагранжа має вигляд .

Градиєнтами узагальненої та класичної функцій Лагранжа по х є вектор-стовпець з частинними похідними першого порядку

, .

Другим диференціалом узагальненої та класичної функцій Лагранжа є

, .

Першим диференціалом обмежень g_j(x) є функція

.

Результати досліджень локальних екстремумів в точці х^* приводимо у таблиці 1.

Таблиця 1.

№			Тип умовно-стаціонарної точки х*
	>0	0,	Умовний локальний мінімум
	<0	0,	Умовний локальний максимум
	≥0		Може бути умовний локальний мінімум. Необхідні додаткові дослідження.
	≤0		Може бути умовний локальний максимум. Необхідні додаткові дослідження.
	=		Необхідні додаткові дослідження.
	>0, <0		Екстремуму немає.

Приклад 1.

Знайти умовний екстремум функції за методом множників Лагранжа :

1. Перевіряємо умову регулярності. Так як для усіх точок , то умова регулярності виконується. Тому, скористаємося класичною функцією Лагранжа.

2. Скаладаємо функцію Лагранжа .

3. Записуємо необхідні умови екстремуму першого порядку 3.1. 3.2. .

4. Рішенням системи є дві точки умовного екстремуму .

5. Перевіряємо достатні умови екстремуму в точці А , <0, при . Тому в точці А маємо умовний локальний максимум.

6. Перевіряємо достатні умови екстремуму в точці В , >0, при . Тому в точці В маємо умовний локальний мінімум.

 

Задача 1

Визначити умовний екстремум функції за методом множників Лагранжа:

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.