Необхідні та достатні умови безумовного екстремуму функції

Необхідні умови першого порядку

Нехай є точка локального екстремуму функції f(х) на множені та функція f(х) диференційована в точці х^*. Тоді градієнт f(х) в цій точці дорівнює 0:

(6)

або

(7)

Точка, яка задовольняє умові (6) або (7) зветься стаціонарною.

Необхідні умови екстремуму функції другого порядку

Нехай є точка локального мінімуму (максимуму) функції f(х), визначеної на множені та функція f(х) двічі диференційована в цій точці. Тоді матриця Гессе функції f(х), обчисленая в точці х^*, є додатньо напіввизначеною (від’ємно напіввизначеною) тобто Н(х^*)≥0 (Н(х^*)≤0).

Достатні умови екстремуму

Нехай функція f(х) двічі диференційована в точці , її градієнт дорівнює 0, а матриця Гессе є додатньо визначеною (від’ємно визначеною) тобто та Н(х)>0 (Н(х)<0).

Тоді х^* - точка локального мінімуму (максимуму) функції f(х) на множені .

Перевірка виконання умов функції на екстремум.

Розглянемо матрицю Гессе в стаціонарній точці х^*

Н= =