Критерій Сильвестра перевірки достатніх умов екстремуму

1. Для того щоб матриця Гессе Н (х^*) була позитивно визначеною і стаціонарна точка х^* була точкою локального мінімуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів були строго додатні:

>0, >0, …., >0.

2. Для того щоб матриця Гессе Н (х^*) була негативно певної і стаціонарна точка х^* була точкою максимуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувалися, починаючи з негативного

<0, >0,…,(-1)ⁿ >0.

Приклад 1. Дослідити функцію f () = x ₁³– 2 x ₁ x ₂ + x ₂³ на опуклість (вгнутість). Знайдемо частинні похідні:

Запишемо матрицю Н та обчислимо головні мінори.

Якщо x ₁ > 0 i x ₂ > , то функція f () = x ₁³– 2 x ₁ x ₂ + x ₂³ опукла. Якщо x ₁ < 0 i x ₂ > , то функція строго вгнута, бо визначник першого порядку від’ємний, а визначник другого порядку – додатний.

Приклад 2.

Знайти екстремум функції на множені R²:

1. Записуємо необхідні умови екстремуму першого порядку

З системи рівнянь знаходимо стаціонарну точку .

Перевіряємо виконання достатніх умов екстремуму другого порядку.

Матриця Гессе в точці х^* має вигляд .

Оскільки то достатні умови екстремуму не виконуються. Необхідні додаткові дослідження.

Задача 1

Знайти екстремуми функції:

1.1. Z = 2х² + ху + у² + х – у + 1;

1.2. Z = х₁² + х₂², при умові х₁ + х₂ = 5;

1.3. Ціни за одиницю кожної з послуг становлять відповідно 10 і 20 гр. од. Капітал споживача – 1700 гр. од. Необхідно оптимально розділити капітал між цими послугами, якщо індивідуальна функція споживача має вигляд:

f (х₁, х₂) = 2 ;