Лабораторная работа 21-4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Определение момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: Установка лабораторная „Унифилярный подвес“. Электронный блок ФМ 1/1. Набор грузов. Штангенциркуль. Линейка.

Краткая теория

Моментом инерции твердого тела называется физическая величина, характеризующая распределение масс в теле относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Твёрдое тело можно представить как совокупность большого числа материальных точек. В таком случае момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех образующих его материальных точек относительно этой оси и определяется по формуле

где r- расстояние от данной материальной точки массой до оси вращения, - плотность вещества твердого тела, – объём тела.

Момент инерции тела зависит от его массы, формы, размеров и положения оси вращения.

Найдём момент инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии Z (рис. 1).

Совместим начало координат с центром масс параллелепипеда, а координатные оси направим параллельно его граням , , .

Для определения момента инерции параллелепипеда относительно оси разобьём его на параллельные слои толщиной , высотой и длиной . Каждый слой разобьём на элементарные объёмы в виде столбиков высотой и площадью основания (рис.1).

Масса каждого элементарного объёма , где – плотность металла, из которого сделан параллелепипед.

Вклад каждого элементарного объёма в общий момент инерции параллелепипеда равен

, (1)

где – расстояние столбика до оси вращения ().

Момент инерции каждого слоя можно найти, проинтегрировав выражение (1) по в пределах от до :

. (2)

Для определения момента инерции всего параллелепипеда нужно выражение (2) проинтегрировать по в пределах от до :

Откуда следует окончательное выражение:

. (3)

Полученная формула позволяет вычислить значение момента инерции однородного параллелепипеда относительно оси симметрии .

Однако моменты инерции твёрдых тел относительно заданной оси вращения можно определить и экспериментально.

Для определения момента инерции тела экспериментальным путём в данной лабораторной работе служит установка «Унифилярный подвес» (рис. 2).

Установка состоит из основания 1, вертикальной стойки 2, верхнего 3, нижнего 4 и среднего 5 кронштейнов.

Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения стальной проволоки 8, с ней связана металлическая рамка 9, в которой закрепляется исследуемое тело 6.

Если рамку отклонить от положения равновесия и отпустить, она будет совершать колебания. Колебания такого рода называют крутильными. Они происходят под действием упругих сил, возникающих в стальной проволоке 8.

Известно, что период крутильных колебаний относительно оси зависит от момента инерции колеблющейся системы относительно этой оси:

, (4)

где – постоянная момента упругих сил.

Если исследуемое твёрдое тело 6 жёстко закрепить в рамке 9, то для периода колебаний такой системы можно записать:

, (5)

где - момент инерции рамки, а - момент инерции исследуемого тела.

Период колебаний рамки без тела определяется соотношением

. (6)

Решая систему уравнений (5) и (6), получим для выражение

. (7)

Из формулы (7) следует, что если известен момент инерции рамки, то для нахождения момента инерции исследуемого тела достаточно экспериментально определить периоды колебаний унифилярного подвеса с телом и без него.

Момент инерции рамки также можно определить опытным путём. Для этого на ней нужно укрепить грузы 7 (рис 2). В качестве грузов используются два цилиндра. Период крутильных колебаний рамки с цилиндрами:

; (8)