Методика изучения признаков равенства треугольников

3.1.Различные подходы. Изложение вопросов о равенстве треугольников во многом зависит от выбора определения равенства треугольников. Как уже отмечалось в предыдущем пункте, существуют различные определения понятия равенства треугольников.

Предложим один из вариантов изложения данной темы:

1) для равенства двух треугольников потребуем (по определению) равенства трех соответствующих сторон и трех соответствующих углов этих треугольников;

2) в качестве аксиомы примем следующее утверждение: «Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны».

На этой основе можно изложить все вопросы о равенстве треугольников, в частности, второй и третий признаки равенства треугольников. При таком подходе не нужно доказывать первый признак равенства треугольников (он принят в качестве основного свойства). Сокращение трудоемкого теоретического материала позволяет упростить логическую структуру данной темы, кратчайшим путем ввести один из основных методов традиционно-синтетической геометрии - метод равных треугольников, высвободить больше времени на решение задач.

Стремление к снижению уровня формализации в изложении данной темы наблюдается и в учебнике Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Э.Г. Позняка. Доказательства признаков равенства треугольников проводятся здесь без явных ссылок на аксиомы.

3.2.Методика изучения признаков равенства треугольников. Использование признаков равенства треугольников является мощным геометрическим методом доказательства теорем и решения задач. Важно уже на примере первой теоремы заложить у учащихся правильные представления о методе равных треугольников, сформировать навыки его применения. Необходимой предпосылкой для этого является успешное изучение самих признаков равенства треугольников.

Приведем некоторые рекомендации для осуществления методики крупноблочного изложения данного вопроса.Содержание блока: определение треугольника, равных треугольников. Первый признак равенства треугольников (аксиома), второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), определение равнобедренного треугольника, теорема об углах при основании равнобедренного треугольника, третий признак равенства треугольников (по трем сторонам). Ключевые задачи.

Метод обучения: преимущественно эвристическая беседа; обязательное наличие обратной связи, предусматривающей закрепление каждого фрагмента данного блока, применение приемов, облегчающих восприятие крупной порции учебного материала.

Средства наглядности: шаблоны «неполных» треугольников, рисунки, выполняемые при их помощи.

Эвристические ситуации: подведение учащихся к признакам, предоставление им возможности проявить при этом наблюдательность, догадку, самостоятельность мышления.

Рассмотрим один из вариантов изучения признаков равенства треугольников. Поскольку Программа 2009 г. не предусматривает ознакомление учащихся V-VI классов с понятием равных треугольников, то в VII классе при введении этого понятия рекомендуется воспользоваться конкретно-индуктивным методом.

I вариант. Общая схема этого варианта такова:

1) поставить перед учащимися цель: сейчас мы познакомимся с основным свойством равных треугольников;

2) построить два треугольника, у которых равны две пары соответствующих сторон и углы, заключенные между ними;

3) провести наблюдения и анализ рисунка;

4) на основании полученного рисунка и его анализа сформулировать первый признак;

5) осуществить закрепление формулировки первого признака, причем целесообразно, чтобы проговаривание формулировки сопровождалось показом;

6) рассмотреть с учащимися задачи на применение этого признака.

7) Доказывать этот признак необязательно, так он может быть принят

8) в качестве основного свойства.

4.МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ
И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

На первом уроке рекомендуется рассмотреть все понятия данной темы:

· перпендикулярные прямые,

· перпендикуляр, проведенный из точки к прямой,

· серединный перпендикуляр к отрезку,

· накрест лежащие и односторонние углы.

При введении понятий полезно использовать следующие схемы (рис. 5.7).

На этом же уроке могут быть рассмотрены теорема о единственности прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой, и теоремы о серединном перпендикуляре.

Доказательства можно провести устно по рисунку 5.8, если на нем отразить с помощью нумерации структуру рассуждений. При этом нумерация на рисунке должна соответствовать нумерации шагов доказательства, приведенного в учебнике.

Напомним, что перпендикулярными прямыми называются две прямые, которые пересекаются под углом 90° (под прямым углом).

Теорема. Через данную точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную к данной прямой а.

На втором уроке рекомендуется рассмотреть признаки и свойства параллельных прямых. Остановимся на признаке: если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых указывают условия, при которых две прямые будут параллельными. Приведем их. Заметим, что в формулировках ряда следующих теорем под секущей понимается прямая, которая пересекает данные прямые.

Теорема (признак параллельности прямых): Если при пересечении двух прямых секущей окажется, что накрест лежащие углы Равны, то прямые параллельны.

ПРИЛОЖЕНИЕ