Теорема Чебышева (об устойчивости средних) (доказать)

Среднее арифметическое (, my=mx, D(y)=D(x)/n) случ величины Х есть случ величина с очень маленькой дисперсией и при достаточно большомn ведет себя как не случ.

Теорема Чебышева:

При достаточно большом числе независимых опытов, среденее арифметическое наблюдаемых значений случ величины сходится по вероятности к ее mх.

P(|xn-a|<ε)>1-δ, ε, δ -> 0.

P(|(∑xi/n) - mx|<ε)>1-δ

Д-во:

Y=∑xi/n, my=mx, Dy=Dx/n.

Применим к случ величине Y неравенство Чебышёва.

P(|y-my|≥ε)≤Dy/ε²=Dx/nε².

P(|(∑xi/n)-mx|≥ε)≤δ

P(|(∑xi/n)-mx|<ε)>1-δ

Теорема Бернулли (об устойчивости частот) (доказать).

Если вероятностьпоявления события А в одном испытании равна р, число наступления
этого события при п независимых испытаниях равно na, то для любого числа £ > 0 имеет место равенство

т.е. относительная частота Р*(A) события А сходится по вероятности крвероятности события

Док-во:

QВведем с. в. Х1, Х2,...,Х_п следующим образом: Хi = 1, если в i-м испытании появилось событие А, а если не появилось, то Xi= 0. Тогдачисло пд (число успехов) можно представить в виде