Опр. 10. Произведением вектора на скаляр k называется вектор
= k = k,
имеющий длину ka, и направление, которого:
1. совпадает с направлением вектора , если k > 0;
2. противоположно направлению вектора , если k < 0;
3. произвольно, если k = 0.
Свойства умножения вектора на число.
1о. (k + l) = k + l .
k ( + ) = k + k .
2o. k (l ) = (kl) .
3o. 1× = , (–1) × = – , 0 × = .
Свойства векторов.
Опр. 11. Два вектора и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Теорема 1. Два ненулевых вектора и коллинеарны, Û когда они пропорциональны т.е.
= k , k – скаляр.
Опр. 12. Три вектора , , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.
Теорема 2. Три ненулевых вектора , , компланарны, Û когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.
= k + l , k,l – скаляры.
Проекция вектора на ось.
Теорема 3. Проекция вектора на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е. = a × c os a, a = Ð( , l).
рис.3.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Опр. 13. Проекции вектора на координатные оси Ох, Оу, Оz называются координатами вектора. Обозначение: { ax,ay, az }.
Длина вектора:
Пример: Вычислить длину вектора .
Решение:
Расстояние между точками и вычисляется по формуле: .
Пример: Найти расстояние между точками М (2,3,-1) и К (4,5,2).